3.5. Аналитический способ сложения сил

При аналитическом способе суммирования векторов используется известная из векторной алгебры теорема.

Проекция суммы векторов на ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

_{Пусть необходимо} найти главный вектор системы сил . Для этого необходимо выполнить сложение сил:

Поскольку равны векторы, стоящие в левой и правой частях последнего равенства, должны быть равны и их проекции на ось. Спроектируем это равенство на оси х, у, z:

Далее определим модуль суммарного вектора:

и его направляющие косинусы:

Итак, мы установили, что проекции главного вектора системы сил на оси координат равны суммам проекций этих сил на соответствующие оси.

Рассмотрим случай, когда силовой многоугольник замкнут.

В этом случае модуль главного вектора будет равен нулю:

или

Последнее равенство возможно только если все слагаемые под корнем равны нулю, то есть если

или иначе ,

_{где проекции силы} обозначены _.

Вывод

Главный вектор системы сил будет равен нулю в том случае, когда все три суммы проекций исходных сил будут равны нулю.

3.6. Распределенные силы

Понятие силы, приложенной в точке, есть идеализа­ция, так как взаимодействие тел реально всегда происходит по некоторой площадке или даже по объему (как у гравитационных сил).

Сосредоточенная в точке сила всегда представляет собой равнодействующую некоторой распределенной силы.

В механике имеются три вида моделей распределенных сил:

1) силы, распределенные вдоль линии;

2) силы, распределенные по поверхности, и

3) силы, распределенные по объему.

Рассмотрим первые два случая.

Силы, распределенные вдоль линии

Типичным практическим примером, отвечающим такой модели, является длинный провод, подвергшийся обледенению.

Сила, распределенная вдоль линии, характеризуется ее интенсивностью , которая является мерой величины силы, приходящейся на единицу длины (на погонный метр) и измеряется в Н/м.

Величина интенсивности может быть переменной (рис. 3.9, а) или постоянной (рис. 3.9, б).

Рис. 3.9

В общем случае силы, распределенной по произвольному закону на участке (О, ), ее равнодействующая Q должна быть вычислена как интеграл

и проходить через центр тяжести подграфика интенсивности.

Рассмотрим частные случаи.

Равномерно распределенная сила

Если интенсивность постоянна q = const (см. рис. 3.9, б), то ее равнодействующая равна и приложена посередине участка распределения.

Сила, интенсивность которой меняется по линейному закону

от 0 до q_max

Рис. 3.10

В этом случае (рис. 3.10, а) соответствующий интеграл дает

и равнодействующая будет проходить на расстоянии 2l/3 от вершины треугольника интенсивности и на расстоянии l/3 от его основания.

Аналогично определяется равнодействующая, если с ростом координаты х интенсивность убывает от g_max до нуля.

Сила, интенсивность которой меняется по

линейному закону от q₁ до q₂

В этом случае (рис. 3.9, б) силу удобно разбить на две распределенные силы, рассмотренные в пункте 2 (на рисунке разбиение показано штрихом).

и

Тогда исходная распределенная сила заменится двумя силами,

линии действия которых делят участок (О, ) на три равные части.

Силы, распределенные по поверхности

Интенсивность такой силы называется давлением р и измеряется в паскалях: 1 Па = 1 Н/м².

В простейшем случае равномерно распределенной силы (рис. 3.11) на некотором участке поверхности ее равнодействующая будет равна, как известно, произведению давления на площадь этого участка А: и будет проходить через центр тяжести этого участка поверхности.

Рис. 3.11

В более сложном случае для определения равнодействующей требуется вычисление интеграла по площади.