9.3. Методы нахождения центра тяжести
Использование симметрии
Легко убедиться в справедливости следующих утверждений:
а) если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела находится в этой плоскости;
б) если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Отсюда можно сделать выводы о том, что центр тяжести отрезка находится в его середине; центры тяжестей окружности, круга, сферы и шара находятся в их геометрических центрах; центры тяжестей периметра и площади параллелограмма, а также объема параллелепипеда находятся в точке пересечения их диагоналей.
Метод разбиения
Если тело можно разбить на конечное число частей, координаты центров тяжестей которых известны, то для определения положения центра тяжести тела можно пользоваться непосредственно формулами (9.5) - (9.7).
Мтод отрицательных весов
Этот метод применяется тогда, когда у тела имеются вырезы (полости).
В этом случае также можно пользоваться формулами (9.5)-(9.7), но вырезанную часть рассматривать как дополнительную, а ее вес (объем, площадь, длину) брать со знаком «минус».
Формулы для координат центров тяжести различных объемов и фигур можно найти в справочниках.
Следует иметь в виду, что в случае непрерывного распределения массы в формулах (9.5) - (9.7) суммы заменяются соответствующими интегралами.
Например, для координат центра тяжести объема можно получить:
где
− бесконечно малый элемент объема, а
− его координаты.