23. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл.

Определение геометрического произведения, его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов , и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения . Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , , и вектор (см. рис. 22).

Имеем: , где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , для правой тройки векторов и для левой, где – высота параллелепипеда. Получаем: , т.е. , где – объем параллелепипеда, образованного векторами , и .

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. .

Действительно в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и смешанного умножения, т.е. . Действительно и . Знак в правой части этих равенств берем одни и те же, так как тройки векторов , , и , , – одной ориентации.

Следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде без знаков векторного и скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е. , , .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов , и тогда и только тогда, когда они компланарны.

Если , то , , – компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом . Но так как , то получили бы . Это противоречит условию: .

Обратно, пусть векторы , , – компланарны. Тогда вектор будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы , , , и, следовательно . Поэтому , т.е. .

.Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.