4. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

● перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

● умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

● прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицыАи В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. ЗаписываетсяА ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например

.

Пример 1.4. Привести к каноническому виду матрицу

.

Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ .

5. Невырожденные матрицы. Обратная матрица.

Основные понятия

ПустьА – квадратная матрица n-го порядка

.

Квадратная матрицаА называется невырожденной, если определитель не равен нулю: . В противном случае ( ) матрицаА называется вырожденной.

Матрицей, союзнойк матрицеА, называется матрица

,

где - алгебраическое дополнение элемента данной матрицыА (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица называется обратной матрицеА, если выполняется условие:

, (3.1)

гдеЕ – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А.

Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Приведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

, причем .

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц :

т.е.

(3.2)

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

Аналогично убеждаемся, что

. (3.3)

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

и

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получим

т.е. .

Отметим свойства обратной матрицы:

1. ;

2. ;

3. .

6.Алгоритм нахождения обратной матрицы

Пример 3.1. Найти , если

Решение: 1) Находим

2) Находим , поэтому

.

3) Находим .

Проверка:

.

Пример 3.2. Определить, при каких значениях λ существует матрица, обратная данной:

Решение: Всякая невырожденная матрицы имеет обратную. Найдем определитель матрицыА:

Е сли , т.е. , то , то матрицаА невырожденная, имеет обратную.

Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной дляВ, если

, .

Решение: Найдем произведение матрицАи В:

АналогичноВ · А = Е. Следовательно, матрица А является обратной для B