14. Матричный метод решения систем линейных уравнений ( с помощью обратной матрицы).

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы   и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

 или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A:  . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

14.1 Формулы Крамера решения систем линейных уравнений.

Формулы

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

Пример 4.3. Решить систему

Решение: , , . Значит .

15. Системы линейных однородных уравнений, условия совместности и методы решения.

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна , она имеет нулевое (тривиальное) решение

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. .

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, . Пусть . Тогда один из миноров размера отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то .

Достаточность.

Пусть . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения.

Пусть дана однородная система линейных уравнений с неизвестными

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений с неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е. .

Если система имеет ненулевые решения, то . Ибо при система имеет единственное, нулевое решение. Если же , то ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. . И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.

Пример 4.6. Решить систему

Решение: Так как , то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их

Стало быть – общее решение. Положив получим одно частное решение: Положив получаем второе частное решение: и т.д.