II. Модели и методы оценки надежности по

2.1. Особенности моделей оценки надежности по

Аналитические модели надежности дают возможность исследовать закономерности проявления ошибок в программах, а также прогнозировать надежность программ при разработке и эксплуатации.все модели имеют следующие особенности:

1) они строятся на предположении, что проявление ошибки является случайным событием и поэтому имеет вероятностный характер, и достоверность прогнозов зависит от точности исходных данных и глубины прогнозирования по времени. Такие модели предназначены для оценки показателей надежности программ и программных комплексов в процессе тестирования: количества ошибок, оставшихся невыявленными; времени, необходимого для выявления очередной ошибки в процессе эксплуатации программы; времени, необходимого для выявления всех ошибок с заданной вероятностью и т.д.

2) принимается во внимание тот факт, что точное определение полного количества ошибок в программе прямыми методами измерения невозможно. Это значительно повышает сложность и уменьшает точность расчетов надежности в большинстве рассматриваемых ниже моделей.

3) малый объем выборок реального количества обнаруженных ошибок и большой разброс времени обнаружения последовательных ошибок при завершении отладки не позволяют построить высокоточные математические модели. Поэтому целесообразно применять простейшие модели, точность которых близка к точности, обусловленной исходными данными.

При построении моделей используют следующие характеристики надежности программного обеспечения:

 Функция надежности: – вероятность того, что ошибки программы не проявятся на интервале [0, t], то есть время безотказной работы больше, чем t.

 Функция ненадежности: – вероятность того, что в течение t произойдет отказ программы, как результат проявления ошибки в программе.

 Интенсивность отказов: – условная плотность вероятности времени до возникновения отказа программы при условии, что до момента времени t отказа не было.

 Средняя наработка на отказ Т ПО .

В программах отсутствуют компоненты, которые разрушаются физически и требуют для восстановления замены и ремонта. Поэтому время восстановления не зависит от объема технологических работ, ремонтных бригад, от их занятости, от наличия инструмента, комплектующих изделий и других факторов.

Основными типами моделей надежности программных средств являются:

- модели, основанные на предположении о дискретном изменении характеристик надежностей программ в момент устранения ошибок;

- модели, основанные на экспоненциальном характере изменения числа ошибок в зависимости от времени тестирования и функционирования программы.

2.2. Марковская модель для системы готовности и надежности

Рассмотрим систему, начинающую работу в момент времени t = 0. Надежность системы R(t) определяется вероятностью отсутствия сбоя в интервале (0, t): . Под готовностью системы к моменту времени t понимается вероятность того, что система находится в рабочем состоянии во время t:

A(t) = P. (1)

Введем показатель степени риска , тогда надежность системы может быть определена как

. (2)

а значение времени сбоя t_сб можно вычислить как .

Расчетные зависимости для случая постоянного показателя степени риска z(t) =  принимают вид:

, , (3)

Пусть в начальный период (t = 0) система содержит неизвестное число (п) ошибок. Ряд состояний системы {п, п –1, п – 2, ...} соответствует процессам обнаружения ошибок. По аналогии для случая устранения ошибок введем состояния системы {т, т –1, т – 2, ...}. Система находится в состоянии (п – k), если ошибка (k – 1) уже исправлена, а ошибка k еще не обнаружена. В то же время система будет находиться в состоянии (т – k) после того, как ошибка k обнаружена, но еще не исправлена. Общая схема модели с указанием вероятностей перехода между состояниями показана на рис. 4 [11].

Рис. 4. Модель многих состояний для оценки характеристик ПО

Таким образом, любое состояние модели определяется рядом переходных вероятностей {P_ij}, где P_ij означает вероятность перехода из состояния i в состояние j и не зависит от предшествующих и последующих состояний системы, кроме состояний i и j. Вероятность перехода из состояния (n – k) к состоянию (m – k ) есть _n–kt, для k = 0, 1, 2,… Аналогично этому вероятность перехода из состояния (m – k) к состоянию (n – k – 1) есть _m–kt, для k = 0, 1, 2,….

Интенсивности перехода _j и _j зависят от текущего состояния системы. Для системы ПО ЭВМ _j означает интенсивность возникновения (проявления), а _j – интенсивность устранения ошибок. Следовательно, полная матрица переходных вероятностей системы может быть представлена следующим образом:

Готовность системы во время t определяется на основе (1) и является результатом сложения всех вероятностей состояния занятости:

.

(k) может зависеть от оперативного времени  между состояниями системы (n – k) и (m – k), и R_k() будет представлена семейством кривых , где (k, x) получена заменой z(x)  (k, x) в уравнении (2).

Если  и  являются постоянными, то система дифференциальных уравнений, описывающая граф состояний системы на рис. 4, имеет вид:

(4)

Начальные условия

(5)

Система уравнений (4) при начальных условиях (5) может быть решена применением преобразований Лапласа:

, при k = 0, 1, 2,…,

где постоянные {c_kj} и {d_kj} принимают значения:

Аналогично можно показать, что

,

k = 0, 1, 2,…,

где

Применение точного решения предопределяет серьезное ограничение постоянства  и . Рассмотрим общий случай, в котором  и  являются некоторыми функциями настоящего числа ошибок, имеющихся в системе ПО:

В этом случае система уравнений примет вид:

(6)

Начальные условия для (6) аналогично имеют вид (5). Приближенное решение системы уравнений, полученное методом итераций Эйлера, имеет вид:

Пусть  = 1, определим А(t) и B(t) как следующие приближения к истинной системе готовности и неготовности соответственно:

,

Если k_max выбрано достаточно большим, то получим

.

Рис. 5 показывает вариацию вероятностей верхнего состояния занятости P_n–k(t) для некоторых выбранных значений k. Согласованность между точным и приближенным решениями настолько велика, что на рис. 5 приведено только одно семейство кривых. Вариация времен А(t) и (t) показана на рис. 6, значение k принято равным 10.

Рис. 5. Вероятность состояния Рис. 6. Готовность А(t) и готов-

занятости ность + неготовность (t)

Модель позволяет предсказать характеристики системы во время моделированием до того, как программа будет осуществлена, или после ее осуществления. В этом случае величина t может включать как время моделирования, так и время испытания. Эта модель была разработана с целью получения критических характеристик надежности ПО (числа исправляемых ошибок, для оценки готовности А(t) и надежности R(t)).