2.3. Модели надежности программы с дискретно понижающейся частотой (интенсивностью) проявления ошибок

Предполагается, что интенсивность обнаружения ошибок описывается кусочно-постоянной функцией, пропорциональной числу неустраненных ошибок (рис. 7), то есть интенсивность отказов (t) постоянна до обнаружения и исправления ошибки, после чего она снова постоянна, но с другим, уже меньшим значением. Между (t) и числом оставшихся в программе ошибок существует прямая зависимость

,

где N – неизвестное первоначальное число ошибок, i – число обнаруженных ошибок, зависящих от времени t; k – некоторая константа.

Рис. 7. Зависимость отказов программы от времени работы

Плотность распределения времени обнаружения i-й ошибки задается выражением . Значения неизвестных k и N оценивают на основании последовательности наблюдений интервалов между моментами обнаружения ошибок по методу максимального правдоподобия. Для этого необходимо решить следующие уравнения:

где , , , и – оценки соответственно параметров k и N; m – число устраненных ошибок в момент оценки надежности программы.

Вторая модель построена на основе гипотезы о том, что частость проявления ошибок линейно зависит от времени испытания t_i между моментами обнаружения последовательных i-й и (i – 1)-й ошибок:

,

где К – коэффициент пропорциональности, обеспечивающий равенство единице площади под кривой вероятности обнаружения ошибок.

Отличие данной модели от предыдущей заключается в появлении множителя t_i в выражении для частоты отказов. Для оценки наработки на отказ получается выражение, соответствующее распределению Релея:

.

Отсюда плотность распределения времени наработки на отказ

.

Использовав функцию максимального правдоподобия, получим оценку для общего количества ошибок N и коэффициента К:

По экспериментальным данным моментов обнаружения ошибок t_i может быть построена функция, позволяющая прогнозировать надежность комплекса программ и ожидаемое время обнаружения следующей ошибки. Эта модель является достаточно грубой. На практике часто не соблюдаются условия, на которых она построена. Не всегда можно определить и устранить причину отказа и программу часто продолжают использовать, так как при других исходных данных ошибка, вызвавшая этот отказ, может себя не проявить [5].

2.4. Модель надежности программы с дискретным увеличением времени наработки на отказ

Предполагают, что устранение ошибки в программе приводит к увеличению времени наработки на отказ на одну и ту же случайную величину, то есть время между двумя последовательными отказами является случайной величиной (T⁽ⁱ⁾) и представляется в виде суммы двух случайных величин [5]:

, (7)

где случайные величины T⁽ⁱ⁾ независимы и имеют одинаковые математические ожидания М[T⁽ⁱ⁾] и среднее квадратичное отклонение _T. Из (7) следует, что m-й отказ программы произойдет через время

.

Предположим, что . Поскольку отказы программы в начальном периоде эксплуатации возникают часто, считают, что . При этом , а средняя наработка до возникновения m-го отказа определяется выражением

.

Оценки величин M[T], _T могут быть получены по данным об отказах программы в течение периода наблюдения t_н:

где m_н – число отказов программы за период (0, t_н); t⁽ⁱ⁾ – момент возникновения i-го отказа программы.

Тогда вероятность безотказной работы определяется в зависимости от числа возникших отказов m:

,

где [x] – функция Лапласа.