2.12. Модель последовательности испытаний Бернулли

Фазу выполнения программы от начала до завершения называют запуском. Все возможные результаты запуска разобьем на два класса: правильные и неправильные (ошибочные). Рассмотрим классическую вероятностную модель последовательности испытаний Бернулли. Пространство элементарных событий в этой модели содержит 2n точек, где n – число испытаний (в данном случае под испытанием подразумевается запуск программы). Каждый запуск программы имеет два исхода: правильный и неправильный. Обозначим вероятность неправильного исхода р, а вероятность правильного – (1 – p). Вероятность того, что из n запусков k приведут к неправильному результату, выражается формулой биномиального распределения [12].

,

где – число сочетаний. Вероятность р априори неизвестна, но по результатам запусков известны n и k. Величина В как функция р имеет максимум при . В качестве меры надежности программы можно принять величину

, (16)

значения которой (от 0 до 1) согласуются с общепринятым смыслом термина надежность: если все запуски окончились с ошибочным результатом (k = n), то надежность – нулевая.

Отметим, что последовательность испытаний Бернулли – не единственная возможная формализация описываемого процесса. Кроме того, при более пристальном анализе нельзя не обнаружить, что k является функцией n. Тем не менее, даже эта модель дает хорошие качественные результаты.

Наиболее существенное предположение в данной модели состоит в том, что запуски программы считаются независимыми. Это означает, что результаты предыдущих запусков не дают никакой информации о результатах следующего. Ясно, что это предположение на практике выполняется не всегда: например, повторный запуск с теми же входными данными даст, очевидно, тот же самый результат. Следует особо остановиться на двух предельных случаях: k = n (нулевая надежность) и k = 0 (абсолютная надежность). В обоих случаях результаты не следует интерпретировать буквально: нет никаких гарантий того, что очередной запуск приведет к тому же результату, что и предыдущие. Однако с точки зрения пользователя эти случаи совершенно разные. Если нулевая надежность свидетельствует о том, что программа явно непригодна для эксплуатации, то показатель абсолютной надежности не должен вводить в заблуждение: такой вывод нельзя делать по результатам даже очень большого числа запусков.

Из (16) следует, что оценка надежности программы растет с увеличением числа ее запусков по гиперболическому закону – программа тем надежнее, чем больше опыт ее эксплуатации, который зависит как от интенсивности использования программы, так и от тиража компьютера, на котором она запускается. Таким образом, надежность программ для персональных компьютеров типа IBM РС, общий тираж которых составляет в настоящее время около 100 миллионов, на несколько порядков выше аналогичных программ для специализированных процессоров.

Во всех рассмотренных выше моделях программа представлена как «черный ящик», без учета ее внутренней структуры. Модели Нельсона и Иыуду являются структурными и рассматривают программы в виде «белого ящика» – с учетом ее внутренней структуры.