2.8. Геометрическая модель Моранды

Предполагают, что интенсивность появления ошибок принимает форму геометрической прогрессии: , где D и К – константы, i – число обнаруженных ошибок. Другие показатели надежности находят по формулам

,

где n – число полных временных интервалов между ошибками. Как и в предыдущих моделях, здесь имеются параметры, значение которых требует дополнительных расчетов или наблюдений. Эту модель рекомендуется применять в случае небольшой длительности отладки, и она непригодная для оценки сложных программных комплексов.

2.9. Модель Шика-Волвертона

Модель Шика-Волвертона является модификацией модели Джелинского–Морнады и основана на допущении, что интенсивность обнаружения ошибок пропорциональна не только числу оставшихся ошибок в программах, но также и длительности i-го интервала отладки: , то есть с течением времени возрастает линейно, что соответствует рэлеевскому распределению времени между соседними обнаруженными ошибками. Тогда вероятность безотказной работы и средняя наработка между обнаруженными ошибками равны

,

где n – число полных временных интервалов, – параметр рэлеевского распределения.

Модель Шика-Волвертона предпочтительнее использовать для оценки крупных программных комплексов.

2.10. Обобщение моделей Джелинского-Моранды и Шика-Волвертона

Модели Джелинского – Моранды и Шика – Волвертона могут быть обобщены, если допустить возможность возникновения на рассматриваемом интервале более одной ошибки и считать, что исправление ошибок производится лишь после истечения интервала времени, на котором они возникли.

Функция правдоподобия в этом случае несколько отличается, так как теперь наблюдаемым событием является число ошибок, обнаруживаемых в заданном временном интервале, а не время ожидания каждой ошибки. Предполагается, что все обнаруженные на определенном интервале ошибки устраняются перед результирующим прогоном. Однако вид уравнений для нахождения значений оценок С и М аналогичен предыдущему случаю:

где

t_i – продолжительность временного интервала, в котором наблюдается D_i ошибок; Т_i–1 – время, накопленное за (i – 1) интервалов, n_i–1 – суммарное число ошибок, обнаруженных за период от 1-го до (i – 1)-го интервала времени включительно, D – общее число временных интервалов; К – суммарное число обнаруженных ошибок; .

Отличие этой модели состоит в том, что здесь интенсивность обнаруженных ошибок _i предполагается постоянной в течение интервала времени t_i, так что , то есть _i пропорциональна числу ошибок, остающихся по истечении (i – 1)-го интервала времени; но она пропорциональна также и суммарному времени, уже затраченному на тестирование (включая среднее время поиска ошибки в текущем интервале времени t_i). При D = 1 оба уравнения приобретают прежний вид. В этом случае D = K, n_i–1 = i – 1.

2.11. Модель надежности на основе распределения Вейбулла

Особенностью модели является учет ступенчатого характера изменения надежности при устранении очередной ошибки. В качестве основной функции рассматривается распределение времени наработки на отказ T(t). Если ошибки не устраняются, то интенсивность отказов является постоянной, что приводит к экспоненциальной модели для распределения T(t) = exp(–t). Отсюда плотность распределения наработки на отказ определяется выражением

,

где t > 0,  >0 и 1/ – среднее время наработки на отказ.

Для аппроксимации изменения частоты отказов от времени при обнаружении и устранении ошибок используется функция следующего вида: . Если 0 <  < 1, то интенсивность отказов снижается по мере отладки или в процессе эксплуатации. При таком виде функции (t) плотность функции распределения наработки на отказ описывается двухпараметрическим распределением Вейбулла:

, ,

где  – параметр модели, оценку которого получают методом моментов, Г(х) – гамма-функция. Достоинство этой модели в том, что она содержит дополнительный по сравнению с экспоненциальной моделью параметр . Подбирая  и , можно получить лучшее соответствие опытным данным, значение  подбирают из диапазона 0<  <1. Однако отсутствуют какие-либо практические рекомендации по побору значений параметров  и .

Данная математическая модель использовалась в процессе проектирования и эксплуатации некоторых систем, для которых определены коэффициенты  и . Показано, что распределение Вейбулла достаточно хорошо отражает реальные зависимости при расчете функции наработки на отказ.