1.2 Подвійний інтеграл в криволінійних координатах
Якщо область D має вигляд
то
.
Детальніше.
Розглянемо
область
правильну в радіальному напрямку, тобто
будь-який промінь, що виходить з початку
координат і проходить через область
,
перетинає її межу не більш ніж в двох
точках або є частиною межі області
(мал. 2.6).
мал 2.6
Це
означає, що область
обмежена променями, що виходять з полюса
О
(початок
координат) під кутами
та
до полярної осі (що співпадає OX),
а також кривими
,
, які можна задати рівняннями
та
де
та
- полярні координати. Промінь, що виходить
з полюса О
під
кутом
до полярної осі,
,
перетинає межу області
в точках A
і B.
,
.
Аналітично
область
задається системою нерівностей
.
Полярні
,
та декартові
координати зв′язані співвідношенням
,
,а
формула обчислення подвійного інтегралу
в полярних координатах для правильної
в радіальному напрямку області
має вигляд
(1.4)
Приклад1.5. Обчислити
,
де
– область, обмежена кривою
.
Розв′язання.Переходячи
до полярних координат
та
, отримуємо рівняння границі
області
:
.
Межі
зміни
можна знайти з області визначення
функції
.
Областю визначення функції
є ті значення
за яких функція
визначена і
Таким чином, в нашому випадку
задовольняє нерівність
.
Відповідно,
,
де
задаються системами нерівностей (мал.
2.7)
:
мал.
2.7
Зважаючи
на симетрію підінтегральної функції
і області
відносно початку координат з формули
(1.4) отримаємо
Зауваження
1.2. Для узагальненої полярної системи
координат зв′язок змінних
,
:
задається рівностями
,
.
Тут змінні , мають такий же зміст, що і в полярній системі координат. В цьому випадку формула (1.4) узагальнюється і приймає вигляд
(1.5)
Цю систему координат зручно застосовувати в тому випадку, якщо в рівнянні межі D і в підінтегральну функцію входять вирази
.
1.3.Застосування подвійних інтегралів
1.Площа
плоскої області D
обчислюється за формулою
(1.6)
2.Об’єм
V
циліндричного тіла, обмеженого зверху
поверхнею
,
знизу – частиною площини XOY
і бічною поверхнею прямого циліндра,
задається формулою
,
(1.7)
Якщо
тіло обмежене двома поверхнями
(нижня
частина межі тіла), і
(верхня
частина межі тіла), то
.
3. Статичні моменти щодо координатних осей і маса плоских областей обчислюються за формулами
;
;
,
де
- поверхнева щільність маси плоскої
області D.
4.Координати центра тяжіння плоскої області D з щільністю маси визначається за формулами
;
.
5.Моменти інерції плоских областей відносно координатних осей і початку координат обчислюються за допомогою подвійних інтегралів вигляду
;
;
– полярний
момент інерції;
– відцентровий
момент інерції.
Приклад 1.6. Обчислити площу плоскої області, обмежену лінією
Розв’язок. Площа плоскої області дається формулою (2.5). З рівняння межі цієї області видно, що в цьому інтегралі для його обчислення зручно перейти до узагальненої полярної системи координат
;
.
Тоді рівняння межі цієї області буде мати вигляд
.
З
умови
визначаються межі інтегрування по
змінній
.
Вид області зображений на мал.2.8.
Із мал.2.8. і отриманих раніше результатів область D записується у вигляді
Мал.2.8
Підставляючи
ці межі і в формулу (1.5), де
, отримаємо відповідь:
Приклад
1.7. Обчислити об’єм тіла, обмеженого
поверхнями
;
;
;
;
(мал.2.9).
Р
озв’язок.
Це тіло – циліндричне, тому для обчислення
об’єму скористуємося формулою (1.7), де
.
Тут
область D(
,
на яку проектується тіло, - трикутник в
площині XOY.
Мал.2.9
Ця
область обмежена лініями
які є слідами площин
,
,
відповідно. По рівняннях цих площин
записуємо рівняння ліній:
;
.
Звідси
випливає, що область D
можна задати нерівностями
;
(див.
мал.2.9).
Тому маємо
.
Якщо
з рівняння
лінії, яка є межею області
,
не можна знайти
як явну функцію від
,
то в цьому рівнянні можна перейти від
координат
до нових координат
(здебільшого
це полярні чи узагальнені полярні
координати) за формулами
За умови,що якобіан
а
рівняння
можна розв’язати відносно, наприклад,
.
Тоді
область інтегрування в нових координатах
опишеться нерівностями
причому
де
-
диференціал площі в нових координатах
(у
полярних координатах
диференціал
площі дорівнює
).
Приклад
1.8. Знайти масу платівки
,
обмежені лінією
якщо
функція розподілу маси
.
Для
обчислення інтеграла
,
який дорівнює масі платівки
,
доцільно від декартових координат
перейти до узагальнених полярних
координат
за формулами:
Тоді
,
а лінія
що
обмежує
,у
нових координатах визначається рівністю
,тобто
.
Отже, область
визначається
нерівностями
Звідси
Завдання 1
Поміняти порядок інтегрування:
1.
.
2.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21. .
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28. .
29.
.
30.
.
Завдання 2
Знайти площі фігур, обмежених лініями:
Варіант-1
Варіант-2
Варіант-3
Варіант-4
Варіант-5
Варіант-6
Варіант-7
Варіант-8
Варіант-9
Варіант-10
Варіант-11
Варіант-12
Варіант-13
Варіант-14
Варіант-15
Варіант-16
Варіант-17
Варіант-18
Варіант-19
Варіант-20
Варіант-21
Варіант-22
Варіант-23
Варіант-24
Варіант-25
Варіант-26
Варіант-27
Варіант-28
Варіант-29
Варіант-30
Завдання 3.
Варіант №1
Змінити
порядок інтегрування:
Варіант №2
Знайти
площу області, обмеженої кривими
Варіант №3
Змінити
порядок інтегрування:
.
Варіант №4
Знайти
площу області, обмеженої кривими
Варіант №5
Змінити
порядок інтегрування:
Варіант №6
Знайти
площу області ,обмеженої кривими
.
Варіант №7
Змінити
порядок інтегрування
Варіант №8
Знайти
площу області ,обмеженої кривими
Варіант №9
Змінити
порядок інтегрування
Варіант №10
Знайти
площу області ,обмеженої кривими
Варіант №11
Змінити
порядок інтегрування
Варіант №12
Знайти
площу області, обмеженої кривою
Варіант №13
Змінити
порядок інтегрування
.
Варіант №14
Знайти
площу області, обмеженої кривими
,
якщо
Варіант №15
Змінити
порядок інтегрування:
Варіант №16
Знайти площу області, обмеженою кривою: (x²+y²)² = 2a²xy
Варіант №17
Змінити
порядок інтегрування:
.
Варіант №18
Знайти
площу області, яка обмежена кривими: x²
+
= 1, x²
+
= 36,
y
=
,
y
= -
,
x>0
Варіант №19
Змінити
порядок інтегрування:
.
Варіант №20
Знайти
площу області, яка обмежена кривими: x²
+
= 1, x²
+
= 36,
Варіант №21
Змінити
порядок інтегрування
Варіант №22
Знайти
площу області , обмеженої кривими
y=-x,
Варіант №23
Змінити
порядок інтегрування
Варіант №24
Знайти
площу області, обмеженої кривими
Варіант №25
Змінити
порядок інтегрування
Варіант №26
Знайти
площу області, обмеженої кривими
Варіант №27
Змінити
порядок інтегрування:
Варіант №28
Знайти
площу області, обмеженої кривими:
,
,
,
,
.
Варіант №29
Змінити
порядок інтегрування:
.
Варіант №30
Знайти площу області, обмеженої кривими:
,
,
,
,
.
Варіант №31
Змінити
порядок інтегрування:
.
Варіант №32
Знайти
площу області, обмеженої кривими:
,
,
,
Завдання 4
Варіант №1
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
якщо
поверхнева густина
.
Варіант №2
Знайти
момент інерції відносно осі Оу пластинки,
яка має форму області, обмеженої кривими
якщо
поверхнева густина
.
Варіант №3
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
якщо поверхнева густина
Варіант №4
Знайти
момент інерції відносно осі Ох однорідного
трикутника, обмеженого прямими
Варіант №5
Знайти
масу пластини ,яка має форму області
,обмеженої кривими
якщо поверхнева густина
.
Варіант №6
Знайти
момент інерції відносно осі Оу однорідного
трикутника ,обмеженого прямими:
Варіант №7
Знайти
масу пластинки ,яка має форму області
,обмеженої кривими
якщо
поверхнева густина
Варіант №8
Знайти
центр мас півкола ,обмеженої кривими
якщо
поверхнева густина
Варіант №9
Знайти масу пластинки, яка має форму області, обмеженої кривими
,
,
,
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №10
Знайти
центр мас сектора, обмеженого кривими
,
,
,
якщо поверхнева густина
Варіант №11
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №12
Знайти
момент інерції відносно осі Ох пластинки,
яка має форму області, обмеженої кривими
,
якщо поверхнева густина
Варіант №13
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №14
Знайти
момент інерції відносно початку координат
пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №15
Знайти масу пластинки, яка має форму області, обмеженої кривими:
x²+y²
= 6x, x²+y²
= 16x,
y
= x
,
y
=
,
якщо поверхнева густина j(x;y) = 4y
Варіант №16
Знайти момент інерції відносно осі 0x пластинки, яка має форму області, обмеженої кривими x = p, y² = 2px (p>0), якщо поверхнева густина j(x;y) = x
Варіант №17
Знайти масу пластинки, яка має форму області, обмеженої кривими:
x²+y² = 10x, x²+y² = 12x, y = x, y = x , якщо поверхнева густина j(x;y)= x+|y|
Варіант №18
Знайти
момент інерції відносно осі 0y
пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими x = 2, y
= x,
y
=
,
якщо поверхнева густина j(x;y)=
Варіант №19
Знайти масу пластинки, яка має форму області, обмеженої кривими:
x²+y² = 4x, x²+y² = 8x, y = x, y = - x, якщо поверхнева густина j(x;y)= 2x+y
Варіант №20
Знайти
момент інерції відносно початку
координат, яка має форму області,
обмеженою кривою
=
,
якщо поверхнева густина j(x;y)= 3
Варіант №21
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
,
y=0,
y=x,
якщо поверхнева густина
Варіант №22
Знайти
момент інерції відносно початку координат
пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
якщо поверхнева густина
Варіант №23
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
якщо поверхнева густина
Варіант №24
Знайти
центр мас однорідної пластинки, яка має
форму області, обмеженої кривими
Варіант №25
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
,
,
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №26
Знайти
момент інерції відносно осі
пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
,
,
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №27
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
,
,
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №28
Знайти
момент інерції відносно осі
пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №29
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
,
,
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №30
Знайти
момент інерції відносно початку координат
пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
,
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №31
Знайти
масу пластинки, яка має форму області,
обмеженої кривими
,
,
,
,
якщо поверхнева густина
.
Варіант №32
Знайти
центр мас однорідної пластинки, яка має
форму області, обмеженої кривими
,
,
якщо поверхнева густина
.
Завдання 5
З допомогою подвійних інтегралів обчислити площі областей, обмежених лініями (1-6):
Побудувати області, площі яких виражаються наведеними далі інтегралами. Обчислити ці площі та змінити порядок інтегрування (7-10):
7.
8.
9.
10.
11.
Визначити момент інерції матеріальної
фігури, обмеженої лініями
та
відносно прямої
,вважаючи,
що
12.Визначити
момент інерції матеріальної фігури,обмеженої
однією пелюсткою лемніскати
відносно полюса, якщо
.
13.Обчислити
статичні моменти відносно координатних
осей так званого кругового трикутника,
утвореного координатними осями та дугою
кола
якщо
14.Обчислити
статичні моменти прямокутного
рівнобедреного трикутника, катети якого
дорівнюють
,
відносно кожної з його сторін
15.Обчислити
статичний момент однорідної
плоскої
фігури, обмеженої лініями
та
відносно осі
.
16.Обчислити
статичні моменти плоскої фігури,
обмеженої лініями
відносно
координатних осей, якщо
(
-
коефіцієнт пропорційності).
17.
Обчислити статичний момент фігури,
обмеженої однією пелюсткою лемніскати
,
відносно прямої, що проходить через
полюс перпендикулярно до полярної осі,
якщо
.
Знайти координати центра мас однорідних пластинок, обмежених кривими (18-21):
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
Знайти маси матеріальних фігур, обмежених лініями (22-24):
22.
.
23.
.
24.
.
З допомогою подвійних інтегралів знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями (25-30):
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Завдання 6
Обчислити площу плоских областей, обмежених кривими.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
(мається
на увазі область, що не містить полюса).
6.
.
7.
.
8.
(область поза параболою).
9.
.
10.
(область, найближча до початку координат).
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
(область поза коордіоїди).
21.
.
22.
(область поза параболою).
23.
.
24.
(область поза колом
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
Завдання 7
Подвійним інтегруванням знайти об’єм тіл, обмежених поверхнями.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
(частина кулі, що лежить в середині
конуса).
(
тіло
розміщено в І-му октанті).
Задание 8
1. Знайти момент инерції однорідного круга (γ = І) радіуса R відносноно його дотичної.
2.
Знайти центр мас меньшої однородної
області, обмеженої кривими:
3. Знайти центр мас більшої однорідної області, обмеженої лініями:
4. Знайти момент инерції прямокутника зі сторонами a та b относительно точки перетину діагоналей.
5. Знайти статичний момент однорідного полукруга радіуса R відносноно його діаметра.
6. Знайти момент инерції однорідного круга радіуса R відносно його дотичної.
7.
Знайти статичний момент однородної
плоскої фігури, обмеженої віссю OY та
параболою
відносно осі OY.
8.
Знайти координату
однородної плоскої фігури, обмеженої
віссю OY та параболою
.
9.
Знайти статичні моменти фігури, що
лежить в першій чверті, обмежена эллипсом
та координатними осями відносно
координатних осей, якщо густина в кожній
точці фігури дорівнює γ = KXY
(K
– коефіциент пропорційності).
10.
Знайти статичні моменти відносно
координатних осей плоскої фігури з
густиною γ = Y
та обмеженою лініями:
11.
Знайти момент інерції
плоскої
фігури з густиною γ =X, обмеженою
лініями
.
12.
Знайти статичний момент фігури, обмеженої
правою петлею лемніскати
,
відносного
прямої, що проходить через полюс
перпендикулярно до полярной осі (густина
γ
=1).
13.
Знайти
центр мас однорідної
пластинки (γ
=1),
обмеженої
кривими:
.
14.
Знайти
момент інерції відносно
осі OY
однорідної пластинки (γ
=1),
обмеженої
кривими:
.
15. Знайти центр мас однорідної плоскої області
(γ
=1),
обмеженої
кривими:
16.
Знайти відцентровий
момент інерції
однорідної області з густиною γ
=2, обмеженої лініями:
.
17. Знайти центр мас однорідної області, обмеженої лініями:
18. Знайти полярний момент інерції однорідної області з густиною
γ
=
,
обмеженої
лініями:
19.
Знайти масу пластинки з густиною
,
обмеженої
лініями:
.
20. Знайти статичні моменти прямокутного рівнобедреного трикутника, катети якого дорівнюють a, відносно його катетів.
21.
Знайти
координату
-
центра мас однорідної плоскої фігури,
обмеженої
віссю OY
та параболою
.
22.
Знайти
момент инерції
пластинки з густиною γ =XY
, яка обмжена віссю OY та параболою
.
23.
Знайти статичні моменти плоскої фігури,
обмеженої лініями:
відносно координатних осей, якщо густина
γ
=X.
24.
Знайти координати центра мас однорідної
плоскої області, обмеженої параболами:
25.
Знайти момент інерції
однорідної плоскої області, обмеженої
лініями :
26.
Знайти момент інерції
однорідної плоскої області, обмеженої
лініями:
27.
Знайти масу плоскої пластинки з густиною
γ =
,
обмеженої
лініями: x=1; y=1; xy =
.
28.
Знайти
центр мас плоскої області, обмеженої
лініями:
,
з
густиною γ =XY.
29.
Знайти координати центра мас нижнього
півкруга
якщо
його густина дорівнює γ =
.
30.
Знайти координати центра мас сектора,
обмеженого кривими:
.
Завдання 9
Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:
Варіант-1
Варіант-2
Варіант-3
Варіант-4
Варіант-5
Варіант-6
Варіант-7
Варіант-8
Варіант-9
Варіант-10
Варіант-11
Варіант-12
Варіант-13
Варіант-14
Варіант-15
Варіант-16
Варіант-17
Варіант-18
Варіант-19
Варіант-20
Варіант-21
Варіант-22
Варіант-23
Варіант-24
Варіант-25
Варіант-26
Варіант-27
Варіант-28
Варіант-29
Варіант-30
Завдання 10
Знайти
масу пластинки
з густиною
