3. Визначення характеру векторного поля
Якщо
,
то поле є потенціальним і його потенціал
визначається криволінійним інтегралом(2.13),
(2.14).
При цьому
Якщо
поле
задовольняє умові
,
то воно є трубчастим (соленоїдальним).
Якщо
для поля
виконуються дві умови
і
,
то воно є гармонічним і його потенціал
задовольняє рівнянню Лапласа:
Приклад
3.1.
Дати характеристику векторному полю
, де
,
радіус-вектор точки Р(
),
в якій розглядається поле;
—відстань
від початку координат, де розміщений
заряд е
,
до точки спостереження Р(
).
Розв’язок.
Потрібно перевірити, чи виконується
умова
або
,
або обидва одночасно.
А. Перевіримо, чи поле соленоїдальне. Для цього обчислимо
.
Розглянемо
.
Так
як x,
y,
z
входять симетрично в
,
то
;
.
Додаючи всі три похідні, отримуємо . Звідси слідує, що поле —соленоїдальне.
Б.
Обчислимо
;
;
.
Підставивши
ці похідні в вираз для
, отримуємо
.
Звідси
слідує, що поле—потенціальне і воно
має потенціал
такий, що
.
Так як це поле ще й трубчасте( ), то воно—гармонічне.
Знайдемо потенціал цього поля за формулою (2.13).
Таким чином, потенціал йього поля описується функцією
.
Це
потенціал кулонівського поля, створюваного
зарядом е,
що розташований в початку координат.
—напруженість
електричного поля.
Функція
описує потенціал кулонівського поля,
яке створює заряд е,
розташований
в точці (
).
Завдання 30
Перевірити, що поле є потенціальним і знайти його потенціал.
.
Завдання 31
1)
Знайти роботу поля
при
переміщенні вздовж параболи
від точки А(3;9) до точки В(1;1).
2)
Показати, що поле
потенціальне, та знайти його потенціал.
3)
Знайти роботу вектора
вздовж кривої
від точки А(а;0) до точки В(0;а).
4)Показати
,що поле
потенціальне ,знайти його потенціал.
5)
Знайти роботу поля
вздовж
кривої
від
точки
до точки
6)
Показати ,що поле
потенціальне ,та знайти його потенціал.
7)
Знайти роботу сили
вздовж
контура ,обмеженого кривими
при
обході проти годинникової стрілки.
8)
Показати ,що поле
потенціальне
,та знайти його потенціал.
9)
Знайти роботу поля
вздовж кривої
від точки А (1;1) до точки В (2;4).
10)
Показати, що поле
потенціально, та знайти його потенціал.
11)
Знайти роботу поля
вздовж ламаної ОАВ, де О(0;0), А(2;0),
В(4;2).
12)
Показати, що поле
потенціальне, та знайти його потенціал.
13)
Знайти роботу поля
вздовж кривої
в напрямку зростання параметру.
14)
Показати, що поле
потенціальне, та знайти його потенціал.
15) Знайти роботу поля F = (-x²y; xy²) вздовж кривої x²+y²=R² проти годинникової стрілки.
16) Показати, що поле F = (x²+y+2z; y²+z+x; z²+y+2x) потенціальне та знайти його потенціал.
17) Знайти роботу поля F = (x²- y²; xy) вздовж відрізка AB від A (1;0) до B (3;4).
18) Показати, що поле F = (2y+yz; 2x+zx; 8z+yx) потенціальне та знайти його потенціал.
19) Знайти роботу поля F = (y; -(y+x²)) вздовж кривої y = 2x-x² від точки A (2;0) до B (0;0).
20)
Показати, що
=(2x+10z;
2y+8z;
10x+8y+2z)
потенціальне , та знайти його потенціал.
21)
Знайти роботу сили
,вздовж
кривої
в напрямку зростання параметру.
22)
Показати, що поле
потенціальне, та знайти його потенціал.
23)
Знайти роботу поля
вздовж кривої
в напрямку зростання параметру.
24)
Показати, що поле
потенціальне, та знайти його потенціал.
25)
Знайти роботу поля
вздовж
кривої
,
,
,
від точки
до точки
.
26)
Показати, що поле
потенціальне, та знайти його потенціал.
27) Знайти роботу
поля
вздовж
кривої
,
від
точки
до точки
.
28) Показати, що
поле
потенціальне,
та знайти його потенціал.
29)
Знайти роботу поля
вздовж
кривої
,
,
,
в
напрямку зростання параметру.
30)
Показати, що поле
потенціальне, та знайти його потенціал.
31)
Знайти роботу поля
вздовж
контура ромба, сторони якого є прямі
,
(обхід контура проти годинникової
стрілки).
32)
Показати, що поле
потенціальне, та знайти його потенціал.