1.6. Потрійний інтеграл у сферичній системі координат

Нехай просторова область являється правильною в радіальному направленні, тобто будь-яка пряма, проведенна через початок координат (полюс сферичної системи координат) та яка проходить через область , перетинає межу не більше, ніж в двох точках або ж частково лежить на межі області , якщо ця межа – конічна. Ця область проектується на правильну в радіальному направленні область в площині (мал. 2.13) ).

Це означає, що область лежить всередині конуса, що характеризується кутами У загальному випадку кут , а в результаті, і кути являються функціями кута . Кут відраховується від додатного направлення осі вниз, а кут відраховується в площині від додатного направлення осі .

Сама область обмежена поверхнями, заданими рівняннями у сферичній системі координат .

Зв’язок між координатами будь-якої точки та її ж координатами у сферичній системі координат задається рівняннями

Будь-який промінь, який виходить з полюса та який проходить через точку , характеризується кутами та : . Він перетинає межу області в двох точках та (див. мал. 2.13):

Аналітично область задається системою нерівностей

У цьому випадку формула для обчислення потрійного інтегралу у сферичній системі координат має вигляд (1.15)

Зауваження 1.6. Сферичну систему координат зручно застосувати у тому випадку, якщо у рівняння межі область і в підінтегральну функцію входять члени - раціональні числа).

Якщо ж в рівнянні межі області і в підінтегральну функцію входять вирази вигляду , то для обчислення потрійного інтегралу зручно використовувати загальну сферичку систему координат

У цьому випадку формула (1.15) узагальнюється та приймає вигляд (1.16)

Приклад 1.11. У потрійному інтегралі перейти до сферичної системи координат, якщо область є перетином двох куль, поверхнями яких задані рівняннями:

Розв’язок. Область та її підобласті та зображені на мал. 2.14, а та б.

Зручно використовувати сферичну систему координат (1.17)

Знайдемо лінію перетину цих двох поверхонь із системи

Ця плоска лінія та її проекція на площину отримується з рівнянь будь-який із двох поверхонь або , якщо замість підставити . У результаті такої підстановки отримуємо

Ця окружність радіуса .

Для межі та виразу на поверхнях та знаходимо кут :

Цей кут ділить область на дві підобласті та , яка відрізняється один від одного різними границями інтегрування по змінній . Для , як видно на мал. 2.14, змінна змінюється в границях , так як рівняння для переходить в рівняння у сферичній системі координат (1.17).

Для границі по змінній знайдемо, підставляючи перетворення (1.17) в рівняння для . У результаті такої підстановки отримуємо

Згідно з отриманими результатами, запишемо рівняння областей та у вигляді систем нерівностей

Користуючись властивістю адитивності потрійного інтегралу, формула (1.15) та рівняння областей , , отримуємо

+

+