Типовые соединения lti-моделей

Системы автоматического управления, как известно, часто задаются в виде структурных схем, которые представляют собой графическое изображение математической модели САУ в виде соединений элементарных динамических звеньев с ПФ низкого порядка. Если в системе отсутствуют перекрестные связи, то за счет выделения и преобразования так называемых типовых соединений звеньев всегда можно получить единую математическую lti-модель САУ. В теории управления к типовым относят три элементарных соединения динамических звеньев: параллельное, последовательное и встречно-параллельное.

Для определения результирующей математической модели таких соединений в Control System Toolbox предусмотрены специальные функции и операции. В качестве lti-объектов могут использоваться все типы моделей. Однако, модели, входящие в типовые соединения, должны быть либо непрерывными, либо дискретными с одинаковым периодом квантования T_s. При этом тип результирующей модели определяется правилами предпочтения, согласно которым наивысший приоритет имеет ss-подкласс, затем следует подкласс zpk и далее объекты tf-подкласса. Поэтому результатом операции преобразования двух lti-объектов будет:

• ss-объект, если хотя бы один из операндов относится к ss-подклассу;

• zpk-объект, если операнды не относятся к ss-подклассу и хотя бы один из операндов является zpk-моделью;

• tf-объект, если оба операнда принадлежат подклассу tf.

Согласно этим правилам предпочтения в пакете Control System Toolbox перед выполнением операций все операнды более низкого приоритета переводятся в lti-модель операнда с наивысшим приоритетом.

Если необходимо получить результирующую модель определенного подкласса, можно предложить два пути: после выполнения операции перевести результат в требуемый подкласс, либо преобразовать в этот подкласс все операнды до выполнения операции.

Структура параллельного соединения двух моделей представлена на рис.1.1.

Схема параллельного соединения

Для получения результирующей lti-модели sys при суммировании выходов можно использовать операцию сложения или эквивалентные ей функции parallel и plus, а при вычитании – minus:

sys = sys1 + sys2

sys = plus(sys1, sys2)

sys = parallel(sys1, sys2)

sys = sys1 - sys2

sys = minus(sys1, sys2)

Пример 1.20. Определение результирующей модели для параллельного соединения моделей с передаточными функциями

, .

>> v1=tf(10, [1, 1]);

>> v2=zpk([], [0, -2], 0.2);

>> w20=v1+v2

Zero/pole/gain:

10 (s+2.01) (s+0.00995)

-----------------------

s (s+2) (s+1)

!! Задание 1.20. Сформируйте с помощью функции parallel результирующую tf-модель h20 для параллельного соединения звеньев с ПФ: G₁(s)= , G₂(s)= ,

Схема последовательного соединения двух lti-моделей приведена на рис.2.

Рис.1.2

Схема последовательного соединения

Для определения результирующей модели sys можно использовать операцию умножения моделей sys1 и sys2 или две специальные функции series и mtimes:

sys = sys1 * sys2

sys = series (sys1, sys2)

sys = mtimes (sys1, sys2)

Пример 1.21. Получение результирующей модели для последовательного соединения объектов с передаточными функциями V₁(s) и V₂(s).

>> w21=series(v1,v2)

Zero/pole/gain:

2

-------------

s (s+1) (s+2)

!! Задание 1.21. Сформируйте с помощью функции mtimes результирующую zpk-модель h21 для последовательного соединения звеньев с ПФ G₁(s) и G₂(s).

Встречно-параллельное соединение моделей представлено на рис.1.3. В общем случае обратная связь может быть как отрицательной, так и положительной.

Схема встречно-параллельного соединения

Для получения результирующей модели этого соединения используется функция feedback, которая для отрицательной обратной связи может применяться в двух вариантах:

sys = feedback (sys1, sys2)

sys = feedback (sys1, sys2, -1),

а при положительной обратной связи вызывается в следующем виде:

sys = feedback (sys1, sys2, 1),

где sys1 – охватываемая модель,

sys2 – модель цепи обратной связи.

Пример 1.22. Определение результирующей модели для встречно-параллельного соединения звеньев V₁(s) и V₂(s).

>> w22=feedback(v1,v2)

Zero/pole/gain:

10 s (s+2)

-----------------------------------

(s+2.521) (s^2 + 0.4786s + 0.7932)

Следует отметить, что в знаменателе полученной zpk-модели имеется оператор второго порядка. Это форма используется в MatLab при появлении в модели комплексно-сопряженных корней.

!! Задание 1.22. Сформируйте результирующую ss-модель h22 для схемы с отрицательной обратной связью, в которой sys1=G₁(s), sys2=G₂(s).