13)Математическое ожидание случайной величины.

Математическое ожидание (МО) характеризует среднее взвешенное значение случайной величины.

Для вычисления математического ожидания для ДСВ каждое значение xi учитывается с «весом», пропорциональным вероятности этого значения.

(6.1)

M[X]-оператор математического ожидания;

mx -- число, полученное после вычислений по формуле.

Для НСВ заменим отдельные значения   непрерывно изменяющимся параметром  , соответствующие вероятности  - элементом вероятности  , а конечную сумму – интегралом:  (6.2)

Механическая интерпретация понятия математического ожидания: на оси абсцисс расположены точки с абсциссами  , в которых сосредоточены соответственно массы р1, р2,...., причем  . Тогда МО –абсцисса центра тяжести. Для НСВ – масса распределена непрерывно с плотностью  .

Для смешанных случайных величин математическое ожидание состоит из двух слагаемых.

, (6.3)

где сумма распространяется на все значения xi, имеющие отличные от нуля вероятности, а интеграл – на все участки оси абсцисс, где функция распределения F(x) непрерывна.

Физический смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины, т.е. то значение, которое может быть использовано вместо конкретного значения, принимаемого случайной величиной в приблизительных расчетах или оценках.

14)Свойства математического ожидания случайной величины.

Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с:

M[c] = c. (6.4)

Доказательствово: представим величину с как случайную величину, которая принимает одно и то же значение, с вероятностью р=1:

M[c]=c∙1=c.

При умножении СВ Х на неслучайную величину с не ту же самую величину увеличится ее математическое ожидание:

M[c×X] = c×M[X]. (6.5)

Доказательство:

При прибавлении к СВ Х неслучайной величины с к ее математическому ожиданию прибавляется такая же величина:

(6.6)

Доказательство: следует из свойств 1 и 3.

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M[X+Y] = M[X]+M[Y]. (6.6)

 

15)Дисперсия случайной величины. Ее смысл.

Дисперсия D случайной величины  определяется формулой

D = M( – M)2.

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Дисперсия случайной величины равна нулю в том и только в том случае, когда эта случайная величина – константа (то есть при всех исходах случайного эксперимента принимает одно и то же значение).

Свойства дисперсии.

Если с – число, то D( + с) = D()

Если k – число, то D(k) = k2 D.

Доказательство.

D(k) = M(k – M(k))2 = M(k – k M)2 = M(k2 ( – M)2) = k2M( – M)2 =

= k2 D

Для попарно независимых случайных величин 1, 2,, n справедливо равенство

16)Среднее квадратичное отклонение случайной величины.

Средним квадратическим отклонением Случайной величины  Называется величина  .

Среднее квадратическое отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.