9.Перенос сил к заданную точку . Теорема о приведении произвольной системы сил к заданному центру . Главный вектор и главный момент системы сил

Теорема. Произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру, заменив все действующие силы одной силой, равной главному вектору системы сил, приложенному в этом центре, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно того же центра(пояснение см. на рисунке 19). Коротко: любую систему сил, действующих на тело, можно эквивалентно заменить двумя силовыми факторами: главным вектором  и главным моментом  .

 

 

Пусть на тело в точках О₁, О₂,…, О_i, …, O_n действуют соответственно силы  (см. рисунок 19,а). Приведем эту произвольную систему сил к точкеО, совмещенной, например, с ортогональной системой координат Охуz. Для этого переносим каждую силу  параллельно самой себе из точки ее действия О_i в точкуО, присоединяя для компенсации переноса (по методу Пуансо) соответствующий момент пары сил  , см. рисунок 19,б.

 

 

 z O₁ z  O₁ z O₁

О₂  O₂ O₂

 

О у О у О у

x  O_n x  O_n х О_n

а) б) в)

Рисунок 19. Схемы приведения системы сил к произвольной точке тела:

а) исходная система сил; б) после переноса силовых факторов в точку О;

в) эквивалентная система с главным вектором и главным моментом

 

Далее заменяем (векторным суммированием) сходящиеся в точке О векторы сил  одной силой

,

которую называют главным векторомсистемы сил. Геометрически складываем также все векторы моментов пар сил  , заменяя их одним (равнодействующим) моментом

,

который называют главным моментом системы сил.

Таким образом, произвольную систему сил, действующих на тело, мы эквивалентно заменили двумя силовыми факторами: главным вектором  и главным моментом  ,см. рисунок 19,в.

Следует отметить, что при параллельном переносе сил  в любой центр приведения не изменяются ни величины, ни направления этих сил. Поэтому главный вектор  системы сил не зависит от того, какая точка тела принята за цент приведения.Таким образом,главный вектор является инвариантом (неизменяемой величиной) данной системы сил. В отличие от главного вектора главный момент  системы сил не является ее инвариантом, т. к. он зависит от выбранного центра приведения. При перемене центра приведения изменяются и моменты сил системы относительно этого центра, поэтому изменяется и главный момент.

Главным вектором R системы сил F₁,F₂ … , F_n называется векторная сумма этих сил, т. е.

R=

Таким образом, главный вектор системы сил можно определить геометрически с помощью многоугольника сил.

Аналитически главный вектор определяется тремя своими проекциями на координатные оси;

R

R

R

Главным моментом Мо системы сил F_1: F₂, ..., F_n относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно этой точки, т. е

M

Таким образом, главный момент системы сил относительно точки можно определить геометрически с помощью многоугольника момен­тов этих сил относительно данной точки.

Аналитически главный момент относительно точки определяется тремя своими проекциями на координатные оси:

M

M

M

или

;  ; 

Заметим, что понятия главного вектора и равнодействующей системы сил не тождественны. Как мы увидим в следующей главе, не всякая система сил имеет равнодействующую. Если же система сил и приводится к равнодействующей, то последняя, хотя геометрически и равна главному вектору, но имеет вполне определенную линию действия, в то время как главный вектор (также и главный момент) является свободным вектором.