Динамика

• 1.Динамика изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.1) Ма́сса (от др.-греч. μάζα, кусок теста) — скалярная физическая величина, одна из важнейших величин в физике. Масса (инертная масса) — физическая величина, характеризующая меру инертности тела Единица массы — килограмм (кг).2) Мат.точкой называется материальное тело размерами которого при изучении данного движения можно пренебречь.3) Система материальных точек – это модель, являющаяся совокупностью нескольких материальных точек (2-х и больше) Расстояние между точками является конечным. Каждая МТ в такой СМТ моделирует частицу тела. Абсолютно твердое тело (АТТ) – это такая СМТ, взаимное расположение которых не меняется, или сплошное тело, форма и размеры которого не изменяются.4) Си́ла — векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на данное тело других тел, а также полей. Приложенная к массивному телу сила является причиной изменения его скорости или возникновения в нём деформаций и напряжений. 5) 1-й: Существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоянной, если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

2-й: В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

где   — ускорение тела,   — силы, приложенные к материальной точке, а   — её масса, или

В классической (ньютоновской) механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами^[4][5].

Второй закона Ньютона можно также сформулировать с использованием понятия импульса:

В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на него силе^[6].

где   — импульс (количество движения) точки,   — её скорость, а   — время. При такой формулировке, как и ранее, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени^[7][8][9].

• 3-й: Силы, с которыми тела действуют друг на друга, лежат на одной прямой, имеют противоположные направления и равные модули

Если при этом рассматриваются взаимодействующие материальные точки, то обе эти силы действуют вдоль прямой, их соединяющей. Это приводит к тому, что суммарный момент импульса системы состоящей из двух материальных точек в процессе взаимодействия остается неизменным. Таким образом, из второго и третьего законов Ньютона могут быть получены законы сохранения импульса и момента импульса. 6) Инерциа́льная систе́ма отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно или покоятс.

2. 1)Согласно основному закону динамики имеем:

 .

Проектируя обе части равенства на оси декартовой системы координат и учитывая, что

 ,   и   , получим дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах:

 ;   _i;   ,

или

 ;   _i;   .

Так как действующие на точку силы зависят от времени, от положения точки (координат точки) и от скорости, то правая часть уравнений может быть функцией этих переменных.

Решение второй задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки. Для этого необходимо проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения.

При интегрировании каждого дифференциального уравнения в полученное решение входят две постоянных интегрирования С₁ и С_2. Для определения значения этих постоянных используют, так называемые, начальные условия. За начальный момент времени обычно принимают t=0. Положение, которое занимает точка в момент t=0, называют начальным положением   , а скорость точки в данный момент – начальной скоростью   .

Таким образом, для решения второй задачи динамики, кроме действующих сил, необходимо знать начальные условия.

Решение второй задачи динамики точки с помощью интегрирования дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям:

составление дифференциальных уравнений движения. В случае прямолинейного движения необходимо:

выбрать начало отсчета (как правило, его совмещают с начальным положением точки); координатную ось направляют в сторону движения;

изобразить движущуюся точку в произвольном положении (   ,   ) и показать все действующие на точку силы;

записать дифференциальное уравнение движения точки, спроектировав все силы на ось координат.

Способы интегрирования дифференциального уравнения движения известны из курса высшей математики и зависят от вида правой части уравнения. Если при решении задачи необходимо искать зависимость скорости от координаты x), уравнение преобразуют к переменному x. Для этого

и дифференциальное уравнение примет вид

 ;   .

Определение постоянных интегрирования производится из начальных условий, которые следует установить из условия задачи.

2) 4. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трёхгранника.

Проекция на 3. на Mτnb: m*dv/dt=ΣFkτ, m*dv/dt=ΣFkn, m*dv/dt=ΣFkb

3. 1)      по заданному движению точки или системы определить силы, производящие это движение.

2)      по заданным силам, действующим на точку или систему, определить движение этих объектов.

1) Решение первой основной задачи динамики.

Пусть движение точки массой m задано координатным способом, т.е. заданы

x = f₁(t);   y = f₂(t);    z = f₃(t)

Дифференцируя дважды по t и подставляя значения   в уравнения (1):  ,  ,  .

Модуль и направляющие косинусы равнодействующей найдем по формулам:

;    ;    ;   

 

Если движение задано естественным способом: S = f(t)

,      ,      ,        ,    

2) Решение второй задачи динамики:

В общем случае равнодействующая   будет зависеть от времени, координат точки и ее скорости.

после интегрирования

x = f₁(t,c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, c₆)          Чтобы выбрать из семейства одну определенную

y = f₂(t,c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, c₆)           траекторию, следует придать параметрам c₁,…, c₆

z = f₃(t,c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, c₆)           конкретные значения.   Их  находят с помощью начальных условий.

4. Систему материальных точек или тел, движение( или равновесие) которой рассматривается, будем называть механической системой. Внутренними называют силы, с которыми точки или тела данной системы действуют друг на друга. Их свойства:1. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы =0( так как для любой пары точек системы имеет место третий закон динамики).2. Сумма моментов всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равняется 0( т.к. для всех точек системы m(F12)+m(F21)=0). Рассмотрим механическую систему, состоящую из  материальных точек. Для каждой точки системы в инерциальной системе отсчета справедлив второй закон Ньютона:

 

 (3.1)

где

 – масса точки с номером   ;

 – ее радиус–вектор;

 – равнодействующая всех внешних сил как активных, так и реакций связей, действующих на точку с номером   ;

 – равнодействующая всех внутренних сил, действующих на точку с номером   .

Систему уравнений (3.1) называют системой дифференциальных уравнений движения точек механической системы. Одна из основных задач механики состоит в том, чтобы, зная активные силы и связи, наложенные на систему, определить движение всех точек системы и определить реакции связей. Решение такой задачи связано с интегрированием системы уравнений (3.1) при заданных начальных условиях. Однако, прямое интегрирование системы (3.1) весьма сложно, что связано как с возможно большим числом этих уравнений, так и, в основном, с неопределенностью информации о внутренних силах.

Во многих практически интересных случаях нет необходимости определять все интегралы системы (3.1), достаточно получить лишь некоторые из них. Это позволяют сделать общие теоремы динамики. Являясь прямым следствием уравнений (3.1), общие теоремы динамики связывают основные динамические величины, характеризующие движение системы, с приложенными к ней внешними силами.

5. 1) Количество движения (импульс тела) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Импульс (количество движения) – одна из самых фундаментальных характеристик движения тела или системы тел.

Запишем II закон Ньютона в другой форме, учитывая, что ускорение   Тогда    следовательно

Произведение силы на время ее действия равно приращению импульса тела (рис. 1):

Где   - импульс силы, который показывает, что результат действия силы зависит не только от ее значения, но и от продолжительности ее действия.

2) И́мпульс си́лы — это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия, мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени (в поступательном движении). За конечный промежуток времени эта величина равна определённому интегралу от элемен­тарного импульса силы, где пределами интегрирования являются моменты начала и конца промежутка времени действия силы. В случае одновременного действия нескольких сил сумма их импульсов равна импульсу их равнодействующей за то же время.

.3)  изменение количества движения системы за некоторый промежу­ток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будем иметь:

. 4) Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следую­щие важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю:

Тогда из уравнения   следует, что Q= =const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю, то вектор количества движения (импульса) системы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Оx) равна нулю:

Тогда из уравнения   следует, что при этом Q_x=const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения (импульса) системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы: при любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

6. 1)центр масс системы материальных точекдвижется как материальная точка, масса которой равна суммарноймассе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на все точки системы и   Если в точках   (с радиусами-векторами  ) сосредоточены массы   то радиус-вектор центра масс

     В координатах:

2) или .3) При движении системы материальных точек ее центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, помещенная в центре масс, если бы в ней были сконцентрированы массы всех точек системы и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на точки системы:

Rвн→=M⋅ac→,

где Rвн→ − векторная сумма всех внешних сил, M − масса системы материальных точек, ac→ − ускорение центра масс системы материальных точек.

7.1)Момент количества движениякинетический момент, одна из мер механического движенияматериальной точки или системы.  Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы всеформулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количествадвижения (См. Количество движения) mv. Т. о., k_o = [r · mυ], где r — радиус-вектор движущейся точки,проведённый из центра О, a k_z равняется проекции вектора k_o на ось z, проходящую через точку О.Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента m_o(F) приложенной силы и определяетсятеоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dk_o/dt = m_o(F).  Главный М. к. д. (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси zравен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительнотого же центра или оси, т. е. K_o = Σk_oi, K_z = Σk_zi. Вектор K_o может быть определён его проекциями K_x, K_y, K_zна координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω, K_x = —I_xzω, K_y = —I_yzω, K_z = I_zω, где l_z — осевой, а I_xz, l_yz — центробежные моменты инерции (См. Моментинерции). Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то K_o = I_zω. 2) Во вращательном движении момент   силы,   действуя   в   течение определенного времени, создает импульс момента силы. ,     Импульс момента силы — это мера воздействия момента силы относительно данной оси за данный промежуток времени (во вра­щательном движении). где   — векторное произведение. 3) С помощью теоремы об изменении кинетического момента решают задачи по термеху на нахождения угловой скорости тела, вращающегося вокруг неподвижной опоры, к которому приложены внешние силы и (или) по которому движется материальная точка. Как и в других теоремах динамики, решение задачи сводиться к составлению выражения в соответствии с этой теоремой – теоремой об изменении кинетического момента (тела или системы тел): 

4).Формулировка закона: если при движении системы сумма моментов внешних сил относительно неподвижной оси   равна нулю, то кине­тический момент системы относительно этой оси есть величина пос­тоян­ная, т. е. если

                                   , то  ,                              (2.5)

где   и  – кинетические моменты в 1-м и 2-м положениях системы.

8. 1)Механическая работа (более развёрнуто: Работа силы F за время Δt процесса γ(t)) — это физическая величина, являющаяся количественной характеристикой действия силы F на процесс γ(t), зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки ее приложения .. Работа силы на конечном перемещении определяется как интегральная сумма элементарных Работа  при перемещении M₀M₁ выражается криволинейным интегралом:

или

2) Мо́щность — физическая величина, равная в общем случае скорости изменения, преобразования, передачи или потребления энергиисистемы. В более узком смысле мощность равна отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени^[1]. N=A/t