§ 21. Определение скорости точки при сложном

движении

 

Пусть имеется неподвижная система отсчета    по отношению к кото­рой движется подвижная система отсчета  . Относительно подвижной системы координат движет­ся точка    (рис. 2.26). Уравнение движения точки  , находящейся в сложном движении, можно задать векторным способом

 

,   (2.67) 

 

где    - радиус-вектор точки  , определяющий ее положение относительно 

 не­подвижной системы отсчета  ;

  -  радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной

 системы координат  ;

  -  радиус-вектор рассматриваемой точки  , определяющий ее 

 положение относительно подвижной системы координат.

П усть    координаты точки    в подвижных осях. Тогда

,   (2.68) 

 

где    - единичные векторы, направленные вдоль под­вижных осей  . Подставляя (2.68) в равенство (2.67), полу­чим:

 

.     (2.69)

 

При относительном движении координаты    изменя­ются с течением времени. Чтобы найти скорость относитель­ного движения, нужно продиффе­ренцировать радиус-вектор    по времени, учитывая его изменение только за счет относи­тельного движе­ния, то есть только за счет изменения коор­динат  , а подвижную систему координат предполагать при этом неподвижной, то есть вектора    считать не зависящими от времени. Дифференцируя равенство (2.68) по времени с учетом сде­ланных оговорок, получим относитель­ную скорость:

 

  ,    (2.70)

 

где точки над величинами означают производные от этих ве­личин по времени:

 

,   ,   .

 

Если относительного движения нет, то точка    будет двигаться вместе с подвижной системой - координат и ско­рость точки будет равна переносной скорости. Таким обра­зом, выражение для переносной скорости можно полу­чить, если продифференцировать по времени радиус-вектор  , считая    не за­висящими от времени:

.   (2.71)

 

Выражение для абсолютной скорости найдем, дифферен­цируя по времени  , учитывая, что от времени зависят относительные координаты    и орты    подвижнойсистемы координат:

 

.  (2.72)

 

В соответствии с формулами (2.70), (2.71) первая скобка в (2.72) есть переносная ско­рость точки, а вторая - относитель­ная. Итак,

 

.   (2.73)

 

Равенство (2.73) выражает теорему о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоро­стей.

Ответы по статике Аксиомы статики твердого тела .Аксиомы уравновешенной системы двух сил . Аксиома параллелограмма сил. Сила, как скользящий вектор

Абсолютно твердым телом* называется материальное тело, в котором рас­стояния между точками остаются неизменными неза­висимо от действующих сил. Несмотря на такую абстракцию, ме­тодами статики твердого тела могут быть решены задачи о рав­новесии реальных деформируемых тел.

  Сила - количественная мера механи­ческого взаимодействия материальных тел, характеризующаяся величиной, направле­нием и точкой приложения. Сила является век­торной величиной. Прямая, по которой направлен век­тор силы   , называется линией дейст­вия силы (рис. 1.1).

 Совокупность сил, приложенных к одному или нескольким твердым телам, называется системой сил. Системы сил, оказыва­ющие на твердое тело одинако­вые действия, называются эквива­лентными системами. Если существует одна сила, эквивалентная некоторой системе, то она называется равнодействующейэтой системы.

 Твердое тело, которое может занимать в пространстве любое произвольное положение, называется свободным. Если же свобода перемещения тела в про­странстве ограничена другими телами, то данное тело называется несвободным, а ограничивающие его те­ла - связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. Например, опоры моста, на которые опирается пролетное строение, являются

для последнего связями, а силы, с которыми они действуют на пролетное строе­ние – реакциями этих опор. Силы, не являющиеся реакциями связей, называютсязадаваемыми, или активными.

 Система сил называется уравновешенной, если ее приложение к покояще­муся свободному твердому телу не нарушает его состо­яния покоя.

 Силы, приложенные к телу во всех точках части поверхности или во всех точках объема тела, называются распределенными. Если же сила приложена в одной точке, то она называется сосре­доточенной. Реально все силы в природе являются распределен­ными, сосредоточенные же силы есть равнодействующие некоторых распределенных. Например, реакцию рельса, действующую на коле­со, иногда представляют в виде сосредоточенной силы, хотя в действительно­сти колесо и рельс соприкасаются не в одной точке, а по некоторой площадке. Примерами распределенных сил могут служить сила тяжести, сила давления воды, давление ветра, сы­пучих грузов и т.д. При решении задач статики часто целесообразно распреде­ленную нагрузку заменять одной эквивалентной сосредоточенной силой.

 Рассмотрим некоторые простейшие примеры распределенных сил, лежащих в одной плоскости. Пло­ская система распределен­ных сил характеризуется ее интенсивностью    , то есть вели­чиной силы, приходящейся на единицу длины. Заменим нагрузку, распределенную вдоль отрезка прямой по произвольному закону, сосредоточенной силой (рис. 1.2).

Р авнодействующей распределенной нагрузки будет сила   , равная по модулю площади фигуры   , измеряемой в соответствующем масштабе. Линия действия силы     проходит через центр тяжести этой площади.

 В частном случае сил, распределенных вдоль отрезка прямой, значения эквивалентных сосредоточенных сил могут быть найдены по формулам, определяющим площади плоских фигур:

для прямоугольника (рис. 1.3, а)

 

     (1.1)

   

для треугольника (рис. 1.3, б)

 

    . (1.2)

  Для прямоугольника линия действия силы     проходит через точку пересечения его диагоналей, а в случае треуголь­ника через точку пересечения его медиан.