Геометрическая кристаллография

1.3 Симметрия кристаллов

Симметрия есть закономерная повторяемость в расположении фигур или их частей на плоскости или в пространстве. Эта закономерность выражается, например, в совмещении частей фигуры при отражении в плоскости или вращении фигуры вокруг какой-либо оси. В природе симметрия проявляется в большом разнообразии и особенно характерна для кристаллов. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

Рассмотрим симметрические преобразования, или элементы симметрии.

1. Плоскость симметрии. Это воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две равные части так, что одна из частей является зеркальным отражением другой. Плоскость симметрии обозначается буквой Р. Точка а₁ (рис. 16) отразится в плоскости Р в точке а₂, последняя будет находиться за плоскостью симметрии, на перпендикуляре к ней и на таком же расстоянии от нее, как и точка а₁. Прямая а₁b₁ в результате отражения займет положение а₂b₂, фигура a₁b₁c₁ отразится в плоскости как a₂b₂c₂.

Рис. 16. Плоскость симметрии (Р) Рис. 17. Девять плоскостей симметрии

(9Р) в кубе.

Три главных плоскости (а) и шесть

диагональных (б)

Если плоскостей симметрии в данном кристалле несколько, то перед обозначением плоскости ставится их число, например ЗР (три плоскости симметрии имеет спичечная коробка). В кристаллах могут быть одна, две, три, четыре, пять, шесть, семь и девять плоскостей симметрии (рис. 17). Теоретически можно доказать, что восьми и более девяти плоскостей симметрии в кристаллах быть не может. Многие кристаллы вообще не имеют ни одной плоскости симметрии.

Рис. 18. Кристаллы без цента симметрии (а) и с центром симметрии (б)

2. Центр симметрии (иногда заменяемся термином «центр инверсии»). Центром симметрии называется такая точка внутри фигуры, при проведении через которую любая прямая встретит на равном от нее расстоянии одинаковые и обратно расположенные части фигуры. Центр симметрии обозначается буквой С. Если каждая грань кристалла имеет себе равную, параллельную, хотя и обратно расположенную грань, то данный кристалл обладает центром симметрии (рис. 18б). Некоторые кри­сталлы могут не иметь центра симметрии (рис. 18а).

3. Оси симметрии. Осью симметрии называется воображаемая прямая, при повороте вокруг которой всегда на один и тот же угол происходит совмещение равных частей фигуры. При повороте на 360° совмещение граней в равных кристаллах возможно два, три, четыре или шесть раз (т. е. при каждом повороте на 180, 120, 90 и 60"). Ось симметрии обозначается буквой L (или G), порядок оси показывает, сколько раз при повороте на 360⁰ произойдет совмещение каждой из граней. Так, в кристаллах возможны оси второго L₂, третьего L₃, четвертого L₄ и шестого L₆ порядков (рис. 19). Оси симметрии L₃, L₄, L₆ называются осями симметрии высшего порядка. Оси симметрии пятого и выше шестого порядка в силу закономерностей внутреннего строения кристаллов невозможны.

4. Инверсионные оси симметрии. Инверсионной осью (L₁) называется воображаемая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол и отражении в центральной точке фигуры (как в центре симметрии) фигура совмещается сама с собой, т. е. инверсионная

Рис. 19. Оси симметрии: L₂, L₃, L₄ и L₆

ось представляет совместное действие оси симметрии и центра симметрии. При этом нужно отметить, что на кристаллах центр симметрии может не проявляться в виде самостоятельного элемента симметрии.

Инверсионные оси обозначаются: L_i1, L_i2, L_i3, L_i4, L_i6 и читаются, к примеру, так: L_i4 - инверсионная ось четвертого порядка. L_i1 есть С, ибо поворот на 360° оставляет фигуру на месте (L_i1= С). L_i2 соответствует плоскости симметрии Р (L_i2=P). L_i3 всегда совпадает с простой тройной осью L₃(L_i3=L₃). L_i4 одновременно всегда является и простой двойной осью симметрии L₂ (но не всякая L₂ есть L_i4). L_i6 одновременно всегда соответствует простой тройной оси и плоскости, перпендикулярной к ней, т. е. L_i6=L₃P.

В кристаллах иногда различают вместо инверсионных так называемые зеркально-поворотные оси (Л). Совмещение граней в случае присутствия этих осей достигается при повороте вокруг простой оси на определенный угол и одновременном отражении в перпендикулярной к оси плоскости. Зеркально-поворотные оси соответствуют отмеченным выше элементам симметрии. Так, действие зеркально-поворотной оси третьего порядка (Л₃) соответствует инверсионной оси шестого порядка (L_i6) и соответствует простой оси третьего порядка и перпендикулярной к ней плоскости (L₃P) (рис. 20).

Таблица 3

Категории	Сингония и константы элементарного параллелепипеда	Название вида по наиболее простой общей форме	Формула симметрии
Низшая	Триклинная  ≠ b ≠ c;  ≠  ≠   900;	Моноэдрический 2.Пинакоидальный	L1 C
	Моноклинная  ≠ b ≠ c;  =  = 900;   900	3. Диэдрический безосный 4. Диэдрический осевой 5. Призматический	P L2 L2PC
	Ромбическая  ≠ b ≠ c;  =  =  = 900	6. Ромбо-пирамедальный 7. Ромбо-тетраэдрический 8. Ромбо-дипирамидальный	L22P 3L2 3L23PC

Средняя	Тетрагональная  = b ≠ c;  =  =  = 900	9. Тетрагональнао-прира-мидальная 10. Тетрагональнао-дипи-рамидальный 11. Дитетрагонально-пира-мидальный 12. Тетрагонально-трапе-цоэдрический 13. Дитетрагонально-ди-пирамидальный 14. Тетрагонально-тетра-эдрический 15. Тетрагонально-скале-ноэдрический	L4 L5PC L44P L44L2 L44L25PC Li4 Li42L22P
	Тригональная  = b = c;  =  = 900  = 1200	16. Тригонально-пирами-дальный 17. Ромбоэдрический 18. Дитригонально-пира-мидальный 19. Тригонально-трапецо-эдрический 20. Дитригонально-склено-эдрический	L3 L3C L33P L33L2 L33L23PC
	Гексоганальная  = b = c;  =  = 900  = 1200	21. Гексагонально-пирами-дальный 22. Гексагонально-дипира-мидальный 23. Дигексагонально- пирамидальный 24. Гексагонально-трапецо-эдрический 25. Дигексагонально- дипирамидальный 26. Тригонально-дипира-мидальный 27. Дитригонально-дипи-рамидальный	L6 L6PC L66P L66L2 L66L27PC Li6=L3P Li63L23P=L33L24P
Высшая	Кубическая  = b = c;  =  =  = 900	28. Тритетраэдрический 29. Дидодекаэдрический 30. Гексатетраэдрический 31. Триоктаэдрический 32. Гексаоктаэдрический	4L33L2 4L33L23PC 4L33L2(3Li4) 3L44L36L2 3L44L36L29PC

Как же сочетаются элементы симметрии в кристаллах? Оказывается, в кристаллах возможны только 32 сочетания элементов симметрии, пли, как говорят, 32 вида симметрии (табл. 3). Вывод всех возможных видов симметрии был сделан И. Ф. Гесселем и А. В. Гадолиным. Виды симметрии объединяются в сингонии (от греческого «син» — сходно и «гония» - угол) или системы. Всего различают семь сингоний.

Рис. 20. Инверсионная ось шестого порядка L_i6 или зеркально-поворотная ось третьего

порядка Л₃ на ромбоэдре кальцита

Триклинная, моноклинная и ромбическая сингонии называются низшими, потому что они не имеют осей симметрии выше второго порядка (L₂).

Тригональная, тетрагональная и гексагональная сингонии называются средними; они имеют одну ось симметрии высшего порядка, соответственно L₃, L₄ (или L_i4), L₆ (или L_i6).

Кубическая сингония имеет несколько осей симметрии высшего порядка (L₃, L₄ или L_i4); она называется высшей сингонией.