Закон рациональных отношений параметров и символы граней

При характеристике кристаллов важно выяснить взаимное положение их граней в пространстве. Для их обозначения приме­няются кристаллографические символы, которые, однозначно определяют положение каждой грани кристалла относительно некоторых координатных осей. Координатные оси в большинстве случаев совпадают с осями и плоскостями симметрии или перпендикулярами к ним.

Понятие о символах граней следует из закона рациональных отношений параметров. Для пояснения этого закона разберем чертеж, представленный на рис. 45. Точка О - начало координат. Оси X, У и Z - координатные оси. Ось X называется осью I, к наблюдателю она имеет положительное значение. Ось Y называется осью II, положительное значение она имеет вправо от начала координат. Ось Z, называется осью III, она имеет положительное значение вверх от точки О.

П ри выборе координатных осей в большинстве случаев ограничиваются тремя осями, по для кристаллов тригональной и гексагональной сингоний приходится проводить четыре оси: три горизонтальные и одну вертикальную.

Отрезки, отсекаемые на координатных осях

(Оа₁, Оа₂, Оа₃, …, Оb₁, Ob₂, Ob₃, …, Oc₁, Oc₂, Oc₃…),

называются линейными параметрами. Они могут

быть одинаковыми или различными в зависимости

от симметрии элементарного параллелепипеда

кристаллической решетки.

Грань a₁b₁c₁ называется единичной гранью, поскольку она отсекает по одному промежутку па каждой координатной оси. Величины, отсекаемые на координатных осях единичной гранью, называются осевыми единицами; они получили постоянные обозначения: а по оси I, b по оси II и с по оси III.

Рис. 45. Чертеж к закону рациональных отношений параметров

Для единичной грани отношения а : b : с - 1:1:1. Аналогично, любая грань, параллельная грани а₁b₁с₁, например a₂b₂c₂, также называется единичной, так как она отсекает на координатных осях отрезки, относящиеся как 1:1:1. Это ясно и из того, что а_[b₁с₁ и a₂b₂c₂ - по существу одна и та же грань, переместившаяся в процессе роста параллельно самой себе.

В другом случае грань будет отсекать различные отрезки на координатных осях. Так, грань а₂b_вс₃ отсекает отрезки, относя­щиеся между собой как 2а : 6b; : Зс.

Если разделить отрезки, отсекаемые на координатных осях какой-либо гранью, на соответствующие отрезки другой грани и взять между ними отношения, то последние выразятся небольшими числами: или в общем случае p:q:r.

Числа 1, 2, 6, 3 называются числовыми параметрами Числовые параметры - всегда целые (рациональные) и числа, в большинстве случаев - это 1; 2; 3; 4.

Итак, числовые параметры в кристаллах представляют собой простые и рациональные числа. Это и есть закон целых чисел, или закон рациональных отношений параметров; он же называется законом Аюи, по имени французского кристаллографа, который его о обоснован в 1784 г.

З акон рациональных отношений параметров позволяет давать удобные обозначения для каждой грани кристалла. При этом берут не числовые параметры грани (например, для грани а₂b₆c₃ - 2 : 6 : 3), а величины, им обратные, ½: 1/6:1/3 и, приводя их к целым числам, получают индексы грани 6/2: 6/6:6/3 = 3 : 1 : 2; в общем виде h : k : l. Совокупность этих индексов, заключенных в круглые скобки, есть символ грани в общем виде (hkl) В нашем случае символ грани а₂b₆c₃ - (3 2), знак отношения при этом не пишется. Символ грани (312) читается так: три, один, два. Если грань пересекает ось II в ее отрицательном направлении, символ ее в общем виде будет

Рис. 46. Символ граней

куба

(hkl), а в нашем случае (312) и читается: три, минус один,

два.

Обратные величины для различных вычислений более удобны. Так, грань,

параллельная какой-либо оси, пересекает ее в бесконечности, а = 0. Поэтому индекс 0 означает параллельность грани данной оси, например, грань, символ которой (110), будет параллельна оси III. Символ грани, параллельной двум кристаллографическим осям, выражается единицей с двумя пулями.

Для примера на рис. 46 приведены символы граней куба. За координатные оси берем направления трех ребер кристалла. Обращенные к ним грани будут иметь символы: передняя (100), правая (010), верхняя (001). Невидимые для нас грани будут иметь те же символы, но поскольку они пересекают оси в их отрицательном значении, знак будет отрицательным; задняя ( 00), левая (0 0), нижняя (00 ). Символом простой формы может служить символ одной из ее граней, этот символ ставится не в круглые, а в фигурные скобки, например {1001}.

Для кристаллов тригональной и гексагональной сингомий принято употреблять не три, а четыре кристаллографические оси: три горизонтальных X, У U и одну вертикальную Z, которая совпадает с осью симметрии L₃, L₆ или L₁₆ (рис. 47). Поэтому и символы граней в этих кристаллах выражаются не тремя, а четырьмя индексами, например (1 10), при этом сумма первых трех индексов равна нулю. В качестве примеров символы граней кристаллов различных сингоний можно видеть на рисунках.

Для определения формы элементарного параллелепипеда решетки недостаточно знать только осевые единицы или их отношения а : b : с. Многие кристаллы не имеют трех взаимно перпендикулярных ребер, а отсюда и координатные оси их косоугольные. Для определения формы параллелепипеда решетки необходимо также знать углы между кристаллографическими осями; они получили постоянные обозначения  - угол между осями II и III,  - угол между осями I и III,  - угол между осями I и II (рис. 48).

Рис. 47. Схема четырех осей (x, y, u и z) Рис. 48. Кристаллографические оси

для тригональных и гексагональных x, y, и z и углы между ними

кристаллов 

Отношения а : b : с и осевые углы , ,  называются константами данной кристаллической решетки. Сингонии имеют следующие константы элементарного параллелепипеда:

Триклинная	а ≠ b≠ с	 ≠  ≠  ≠ 900
Моноклинная	а ≠ b≠ с	 =  = 900  ≠ 900
Ромбическая	а ≠ b≠ с	 =  =  = 900
Тригональная	а ≠ b≠ с	 =  = 900,  = 1200
Тетрагональная	а ≠ b≠ с	 =  =  = 900
Гексагональная	а ≠ b≠ с	 =  = 900,  = 1200
Кубическая	а ≠ b≠ с	 =  =  = 900

При выборе кристаллографических осей и единичных граней, или, как принято говорить, при установке кристаллов исходят из того, что кристаллографические оси соответствуют осям симметрии или нормалям к плоскостям симметрии или действительным или возможным непараллельным ребрам кристаллов (для триклинной сингонии). Кристаллы средних сингоний всегда устанавливают таким образом, чтобы ось симметрии высшего порядка была вертикальной. Кристаллы кубической сингонии всегда имеют три взаимно перпендикулярные оси L₄ или L₂, которые и принимаются за кристаллографические оси (см. рис 46).