6.2. Свойства статистических игр

Функция решения, отображающая множество выборок X_Q в множество решений статистика A, называется нерандомизирован­ной (чистой) функцией решения статистика. Так, по результа­там эксперимента статистик определяет, какое решение а Î А он должен выбрать. Для выбора из множества D наилучшей функции решения он использует функцию риска.

Функция риска зависит от множества состояний природы и от множества функций решения и принимает значение, выражен­ное действительными числами. Она определяет математическое ожидание функции потерь при некотором состоянии природы Q и известной статистику функции распределения F( |Q), когда а=d( ).

Представим функцию риска:

,

где M - знак математического ожидания;

L(Q, a) - функция потерь при состоянии природы Q и d( ) = a.

В теории статистических функций любую неотрицательную функцию L, определенную прямым произведением W´D, назы­вают функцией потерь. Значение L(Q,d) функции потерь L в про­извольной точке (Q, d)Î W´D интерпретируют как ущерб, к ко­торому приводит принятие решений d, dÎD, если истинное зна­чение параметра есть Q, Q Î W.

Выражение W´D - прямое произведение множества состоя­ний природы и множества функций решения. Функция R(Q, d) не является случайной величиной, а принимается как платеж ста­тистика в его игре с природой при следующих условиях:

• состояние природы фиксировано;

• функция решений выбрана, d Î D.

Стратегическая игра (W, A, L) становится статистической, G = (W, D, R), если используется результат эксперимента - век­тор . Игра называется статистической, если в ней:

• X_Q - множество n-мерных выборок;

• D - множество функций решений, которые преобразуют X_Q в А;

• W - множество состояний природы;

• R(Q, d) - функция риска.

Статистическая игра записывается как G = (W, D, R). Данная игра является игрой двух лиц с нулевой суммой, где dÎD -функция решения статистика, а риск R(Q, d) статистика - пла­теж природе.

Статистик может не прибегать к рандомизации, если он ис­пользует как оптимальную байесовскую функцию решения r (см. разд. 6.2.1).

Рандомизация на стороне статистика проводится двумя мето­дами:

1) применение решений аÎА с определенными вероятностя­ми (смешение решений);

2) смешение чистых функций решения dÎD, т.е. рандомиза­ция функций решения.

Чаще применяется второй метод.

Распределение вероятностей d на множестве D чистых фун­кций решения d называется рандомизированной (смешанной) функцией решения статистика.

Функция риска становится случайной величиной, если экс­периментатор применяет в статистической игре случайную фун­кцию решения dÎD*, т. е. когда каждой чистой функции реше­ния dÎD приписывается вероятность, с которой она должна использоваться.

Платежом будет математическое ожидание функции потерь, взятое для некоторого состояния природы Q при распределении d, определенном на множестве чистых функций решения D:

Если статистик использует случайные функции решения dÎD*, то этим расширяется (обобщается) статистическая игра.

Расширенная статистическая игра (W, D*, R) называется так­же смешанным расширением статистической игры с рандоми­зацией на стороне статистика.

Дальнейшее расширение статистической игры может быть достигнуто при предположении, что природа также «применяет» стратегию при «выборе» своего состояния Q.

Априорное распределение вероятностей x на множестве W состояний природы означает распределение до проведения экспе­римента. Это априорное распределение xÎX состояний природы является случайной (смешанной) стратегией природы в статисти­ческой игре, где природа не рассматривается как разумный игрок.

Если Q предполагается случайной величиной с априорным распределением x, то риск R(Q,d) становится случайной пере­менной при фиксированной функции решения d. В данном слу­чае математическое ожидание риска R(Q,d) при априорном рас­пределении x, задаваемом функцией распределения G(Q), оп­ределяется как

,

где r(x,d) -байесовский риск функции решения d с учетом априорно­го распределения x.

Если в качестве оптимальной принимается байесовская фун­кция решения, то используется формула r(x,d).

Вводя рандомизацию на стороне природы, приходим к даль­нейшему расширению статистической игры.

Игра (X, D*, r) со смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне статистика и на стороне при­роды называется полностью расширенной статистической иг­рой.

Поясним в полностью расширенной статистической игре (X, D*, r) ее составляющие:

X - множество всех априорных распределений x состояний природы или множество ее смешанных стратегий;

D* - множество всех случайных функций решения;

r = r(x,d) - байесовский риск.

Представим схему расширения статистической игры (рис. 6.1). При наличии данных без учета стохастических распределений имеем исходную стратегическую игру двух лиц с нулевой сум­мой, которая относится к антагонистическим играм. Данная игра является исходной для соответствующей статистической задачи принятия решения.

Рис. 6.1. Расширение статистической игры

Если статистик (экспериментатор) не имеет возможности провести эксперимент со случайной величиной X, чтобы полу­чить ее распределение, которое зависит от состояния природы, он вынужден будет использовать только стратегическую игру (W, A, L).

Однако очень часто статистик может провести эксперимент и получить в результате вектор , которым он в состоянии вос­пользоваться при принятии решения аÎА функции d( ). В этом случае платеж L(Q, а) становится случайной величиной, а игра - статистической G(W, D, R). Стратегией статистика будет dÎD, а платежом природе от статистика станет его риск R(Q, d).

Далее у статистика остаются две альтернативы:

1) воспользоваться рандомизацией состояний природы и пе­рейти к расширенной (X, D, r) статистической игре;

2) воспользоваться рандомизацией функций решения и перей­ти к расширенной статистической игре (W, D*, R).

Наконец, если статистик применит смешанные стратегии для обоих игроков, то получит полностью расширенную статисти­ческую игру ((W, D*, r).

На практике статистик для выбора оптимальной стратегии может не производить рандомизацию, а в качестве оптимальной взять байесовскую функцию решения.

А. Вальд, создавая теорию статистических игр, опирался на созданную Д. Нейманом теорию стратегических игр, поэтому сравним далее понятия стратегических игр двух лиц с нулевой суммой и понятия статистических игр статистика с природой. Для этого укажем основные обозначения в стратегической и статистической играх:

Х - совокупности стратегий игрока 1;

Y - совокупности стратегий игрока 2;

W— платежная функция;

W(X,Y) - платеж игрока 2 игроку 1;

G == (X,Y,W) - игра игрока 1 с игроком 2;

Г = (X, Н, К) ~ смешанное расширение игры G = (X, Y,W), где X - множество всех смешанных стратегий x игрока 1;

Н - множество всех смешанных стратегий h игрока 2;

К - риск игрока 2.

Составим сравнительную таблицу задач статистических ре­шений с игрой двух лиц с нулевой суммой (табл. 6.1).

Таблица 6.1