3. Кореляція і регресія

Кореляційно - регресійний аналіз застосовується для вивчення зв'язків і залежності між явищами, що спостерігаються при досліджуванні.

Будь-яке дослідження можна з методологічної точки зору звести до вирішення трьох основних задач: 1) виявлення кількісних і якісних розходжень між явищами, що спостерігаються; 2) визначення причинно-наслідкових зв'язків, що викликають ці розходження; 3) спрямування використання цих зв'язків.

3.1. Визначення показників зв'язку між кількісними

ознаками методом малих вибірок

Для більшості явищ природи, які є об'єктами наукових досліджень найбільш характерні кореляційні зв'язки, коли одному значенню аргументу відповідають кілька значень функції. Вони можуть бути прямими і зворотними, слабкими і сильними, лінійними і криволінійними, простими і множинними.

Проста лінійна кореляція. Основний її показник коефіцієнт кореляції, що визначає форму і тісноту зв'язку. Коефіцієнт кореляції – безрозмірна величина, змінювана в межах –1 < r <+1. При позитивному його значенні зв'язок прямий, при негативному – зворотний.

У біологічних дослідженнях використовуються формули:

- коефіцієнт кореляції;

де ; ; i=1,n.

Для оцінки істотності коефіцієнта кореляції обчислюють його помилку і критерій істотності за формулами:

- помилка коефіцієнта кореляції;

- критерій вірогідності коефіцієнта кореляції;

- число ступенів волі.

Коефіцієнт прямолінійної регресії (R), що також відноситься до показників зв'язку, характеризує його динаміку і кількісно конкретизує взаємозв'язок між X і Y ознаками. Він показує, наскільки в середньому змінюється одна ознака при зміні іншої, взаємозалежної з нею на одиницю виміру. Знаючи коефіцієнт регресії однієї ознаки до іншої, взаємозалежної з нею, можна прогнозувати розвиток величини цієї ознаки, не вивчаючи її безпосередньо:

, -, (i=1,n.).

Приклад 3.2.

Розрахувати коефіцієнт кореляції r, помилку коефіцієнта кореляції m_r і критерій вірогідності коефіцієнта кореляції t_r між числом еритроцитів у млн. (Х) і складом гемоглобіну в м.,% (Y) у крові овець, згідно з даними такої вибіркової сукупності.

№ пп.	xi	yi	xi2	yi2	xiyi
1	5,8	10,0	33,64	100,0	587,00
2	8,3	11,6	68,69	134,56	96,28
3	6,0	9,5	36,00	90,25	57,00
4	9,8	13,0	96,04	169,00	127,40
5	6,2	9,6	38,44	92,16	59,52
6	7,4	11,0	54,76	121,00	81,40
7	7,2	10,1	51,84	102,01	72,72
8	8,6	12,2	73,96	148,84	104,92
9	7,7	10,5	59,29	110,25	80,85
10	8,0	13,3	64,0	176,89	106,40
n=10	xi=75	yi=110,8	x2=576,86	y2=1244,96	xy=844,49

Рішення:

Використовуються формули для обчислення коефіцієнта кореляції:

,

де

Розрахований коефіцієнт фенотипной кореляції (r = 0,86) вказує на існування позитивного і тісного зв'язку між числом еритроцитів і складом гемоглобіну в крові овець.

Розрахуємо помилку коефіцієнта кореляції за формулою:

Визначимо критерій вірогідності коефіцієнта кореляції:

Знаходимо число ступенів свободи:

По таблиці Стьюдента (див. додаток 1) t_st при =8 складають:

2,3 (Р=0,95) ; 3,4 (Р=0,99) ; 5,0 (Р=0,999).

Порівнявши розраховане значення t_r зі стандартним t_st, робимо висновок, що розрахований коефіцієнт кореляції достовірний з імовірністю P>0,99.

Розрахуємо коефіцієнт регресії для малої вибірки на прикладі взаємозв'язку між числом еритроцитів і складом гемоглобіну в крові овець за формулами:

Висновок:

При зміні складу гемоглобіну в крові на 1м % число еритроцитів змінилося в середньому на 0,78 млн.шт., а при зміні числа еритроцитів у крові на 1 млн.шт. склад гемоглобіну змінився в середньому на 0,94 м%.

Задачі для самостійного рішення

За даними таблиці 1 (див. додаток) відповідно до свого варіанта розрахувати r, m_r , t_r і зробити відповідні висновки про їхню вірогідність. Розрахувати значення R_x/y і R_y/x і зробити висновок про можливість використання в практиці отриманих результатів.

№ варіанта	Номери стовпців цифр у табл. 2 (Додаток)
1	2 - 3; 4 - 3; 5 - 13
2	2 - 3; 5 - 6; 5 - 12
3	2 - 3; 5 - 7; 5 - 11
4	2 - 3; 5 - 8; 5 - 10
5	2 - 3; 5 - 9; 5 - 12
6	2 - 3; 5 - 10; 5 - 9
7	2 - 3; 5 - 11; 5 - 8
8	2 - 3; 5 - 12; 5 - 7
9	2 - 3; 5 - 13; 5 - 6
10	2 - 3; 4 - 3; 5 - 10