Разложение определителя по элементам строки или столбца

Рассмотрим квадратную матрицу  A  n-го порядка.       Выберем  i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем  i-ую строку и  j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом  M_i j:

.

      Алгебраическое дополнение  A_i,j  элемента  a_i j определяется формулой

.

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы  A  равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

.

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы  A  равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

.

      Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

Доказательство. По определению, детерминант матрицы A представляет собой сумму

             (*)

по всем возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы.

Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с номером  i. Один из элементов этой строки представлен в каждом произведении   . Поэтому слагаемые суммы (*) можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент a₁₁ в качестве общего множителя, во вторую группу – члены, содержащие элемент a₁₂ и т.д. Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов a_{i j} (j = 1,2,…,n):

где

Покажем, что представляет собой алгебраическое дополнение элемента  a_{i j}. Перестановка преобразуется в перестановку посредством (i – 1) транспозиций элемента  j  с соседними элементами. В полученной перестановке элемент  j  образует (j – 1) инверсий с другими элементами. Следовательно,

Однако сумма

представляет собой минор элемента  a_{i j} . Таким образом, и, следовательно, представляет собой алгебраическое дополнение элемента  a_{i j}.

Поскольку , то тем самым доказана и Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

Примеры:

1.  Вычислить определитель матрицы   третьего порядка разложением по элементам первой строки. Решение. Полученный результат находится в соответствии с правилом треугольников.

***

2. Вычислить определитель матрицы   третьего порядка разложением по элементам второго столбца. Решение.

***

3.  Вычислить определитель разложением по элементам первой строки. Решение.

***

4.  Вычислить определитель разложением по элементам второго столбца. Решение.

Теорема Лапласа

Пусть  A  – квадратная матрица  n-го порядка.       Определитель  k-го порядка, составленный из элементов матрицы  A, расположенных на пересечении строк с номерами  i₁ ,  i₂ , ...,  i_k  и столбцов с номерами  j₁ ,  j₂ , ...,  j_k , называется минором  M   k-го порядка матрицы  A.       Если из матрицы  A  вычеркнуть строки и столбцы с такими номерами, то определитель  n–k-го порядка полученной матрицы называется дополнительным минором для минора  M.       Обозначим символом  S  сумму индексов, нумерующих строки и столбцы такого минора:

S = i₁ + j₁ + i₂ + j₂ + ... + i_k + j_k .

      Алгебраическим дополнением минора  M  называется дополнительный минор для минора  M, умноженный на  (–1)^S.       Отметим, что алгебраическое дополнение  A_i j  элемента  a_i j  (минора первого порядка) является частным случаем алгебраического дополнения минора. Теорема Лапласа. Пусть  D  – определитель  n-го порядка, в котором произвольно выбраны  k  строк (или столбцов), где  1 ≤k ≤ n – 1. Тогда определитель  D  равен сумме произведений всех миноров  k-го порядка, расположенных в выбранных строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.