Матрицы Паули

Матрицы Паули  σ_k  (k = 1, 2, 3) определяются уравнениями

(1)

и используются для описания спиновых состояний электронов. (Здесь  i – мнимая единица .)       Очевидно, что матрицы Паули являются эрмитовыми::

(2)

      Квадрат каждой из матриц Паули равен единичной матрице:

(3)

      Матрицы Паули обладают свойством антикоммутативности:

(4)

где – дельта-символ Кронекера (j,k = 1,2,3).       Другие непосредственно проверяемые свойства матриц Паули:

(5)

Матрицы вида eA

Для описания эволюции состояния квантовой системы важную роль играют матрицы вида , где  A – некоторая квадратная матрица (конечного или бесконечного порядка).       Методами математического анализа устанавливается справедливость разложения функции по формуле Тейлора:

(1)

где число  e  представляет собой основание натуральных логарифмов:

e = 2.7182818284590452353602874...

(2)

      Тогда выражение вида

(3)

можно рассматривать в качестве определения марицы .

      Например, если

(4)

то нетрудно показать (см Пример 6), что

(5)

где  n – натуральное число.       Тогда

(6)

      Учитывая равенство (1), заключаем, что матрица     может быть представлена в виде

(7)

      Заметим, что нахождение матрицы сводится к суммированию конечного числа матриц, если существует такое целое положительное число  n, что  Aⁿ = 0. Такое условие выполняется, например, для треугольных матриц с нулевыми диагональными элементами.       В частности, в случае матрицы  A  третьего порядка вида

(8)

уже ее третья степень представляет собой нуль-матрицу:

,

(9)

      Следовательно,

(10)

Пример 1. Для данной матрицы

найти матрицу .

Решение

,

Следовательно,

Определители Перестановки и транспозиции

Рассмотрим множество S натуральных чисел от 1 до n, расположенных в порядке возрастания (в естественном порядке): S={1,2,3,...,n}

Под перестановкой множества S понимается множество этих же чисел, упорядоченное некоторым другим образом: {1,2,3,...,n}{i₁,i₂,i₃,...,i_n}

Перестановка называется транспозицией, если переставляются местами только два элемента множества, тогда как остальные элементы остаются на своих местах.

Пример перестановки:  {1,2,3,4}  {2,4,1,3} {4,2,1,3}

Пример транспозиции:   {1,3,2,4}        Любую перестановку множества  S  можно осуществить посредством нескольких транспозиций. Например, перестановка {2,4,1,3} является результатом трех транспозиций множества  S : {1,2,3,4}   {3,2,1,4}   {4,2,1,3}   {2,4,1,3}.

      Говорят, что перестановка множества  S  содержит инверсию элементов  i_j  и  i_k , если нарушен их естественный порядок расположения, т.е. больший элемент расположен левее меньшего:  i_j > i_k ( j < k). Например, перестановка  {2, 4, 1, 3} содержит три инверсии элементов: 2 и 1, 4 и 1, 4 и 3. Число инверсий определяет четность перестановки. Перестановка называется четной, если она содержит четное число инверсий элементов. Нечетная перестановка содержит нечетное число инверсий.

Заметим, что четная перестановка может быть преобразована к естественному порядку посредством только четного числа транспозиций, тогда как для преобразования нечетной перестановки к естественному порядку требуется нечетное число транспозиций. (Это утверждение является следствием Теоремы 1, см раздел "Теоремы о транспозициях и перестановках".)

Пример:   Перестановка  {2, 4, 1, 3}  является нечетной, поскольку содержит 3 инверсии элементов. Можно также сказать, что перестановка  {2, 4, 1, 3}  является нечетной, поскольку представляет собой последовательность трех транспозиций.

Примеры:

Множество S = {1, 2, 3} содержит три элемента, и поэтому число различных перестановок этого множества равно 3! = 6: {1, 2, 3},    {1, 3, 2},    {2, 3, 1},    {2, 1, 3},    {3, 1, 2}    {3, 2, 1}.

***

Показать, что перестановка  P = {2, 3, 1} является четной. Решение. Элементы 2 и 1 образуют инверсию, поскольку число 2 расположено слева от меньшего числа 1. Элементы 3 и 1 образуют инверсию, поскольку число 3 расположено слева от меньшего числа 1. Таким образом, перестановка  P  содержит четное число инверсий. Другое решение. Перестановка  P  является четной, поскольку представляет собой результат четного числа последовательных транспозиций элементов множества  S = {1, 2, 3}: {1, 2, 3}    ⇒    {1, 3, 2}    ⇒    {2, 3, 1}.

***

Показать, что перестановка  Q = {3, 1, 2} является четной. Решение. Достаточно показать, что перестановка  Q  содержит четное число инверсий. Элементы 3 и 1 образуют инверсию, поскольку число 3 расположено слева от меньшего числа 1. Элементы 3 и 2 образуют инверсию, поскольку число 3 расположено слева от меньшего числа 2. Элементы 1 и 2 не образуют инверсию. Таким образом, перестановка  Q  содержит четное число инверсий.