Обратная матрица

Пусть A – квадратная матрица. Тогда матрица     называется обратной, если

(1)

где E – единичная матрица.

Свойства и применения обратной матрицы

1. Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Если существуют обратные матрицы     и   , то существует и обратная матрица для произведения AB, причем

.

(2)

Действительно,

(3)

2. Пусть A – числовая квадратная матрица n-го порядка, для которой существует обратная матрицы   ; X – матрица размера  n×m, элементами которой являются переменные  x_i j  (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m); B – числовая матрица размера  n×m. Тогда решение матричного уравнения

A X = B

(4)

можно представить в виде

		(5)
Пример 1. Пусть  A,  B  и  C  – квадратные матрицы одного и того же порядка. Если существуют обратные матрицы  A –1,  B –1  и  C –1, то существует и обратная матрица для произведения  ABC, причем (ABC)–1 = C –1 B –1 A –1. Действительно, Аналогично,

***

Пример 2. Пусть   . Проверить прямым вычислением, что матрица является обратной матрицей. Решение Вычислим произведение  A –1A : Такой же результат справедлив для произведения  AA –1 :

Треугольные, транспонированные и симметричные матрицы

Говорят, что матрица имеет треугольный вид, если все ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю:

   или    Рис.1. Верхняя треугольная матрица и нижняя треугольная матрица.

      Треугольные матрицы обладают следующими свойствами:

1. Сумма треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования; при этом диагональные элементы матриц складываются.

2. Произведение треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования.

3. При возведении треугольной матрицы в целую положительную степень ее диагональные элементы возводятся в эту же самую степень.

4. При умножении треугольной матрицы на некоторое число ее диагональные элементы умножаются на это же самое число.

      Доказательство утверждений предоставляется читателю.      

Если в произвольной m × n матрице произвести взаимную замену строк и столбцов, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается символом   . Другими словами, строки матрицы  A  являются столбцами матрицы   , а столбцы матрицы  A  являются строками матрицы   :

      Очевидно, что

,

      Операция транспонирования произведения матриц обладает следующим свойством:

Предположим, что размерности матриц таковы, что операции умножения соответствующих матриц определены. Тогда

Доказательство. Представим i,j-ый элемент матрицы в виде

Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов i и j означает равенство матриц.

Квадратная матрица A называется симметричной, если   , что означает   .

      Матрица называется кососимметричной, если   , то есть   .

Пример 1. Найти , если Решение

***

Пример 2. Матрица является симметричной, поскольку   . Учитывая, что вещественность симметричной матрица влечет за собой ее эрмитовость, заключаем, что матрица  S  является эрмитовой:   .

***

Пример 3. Матрица является кососимметричной, поскольку

***

Пример 4. Непосредственным вычислением убедиться в справедливости свойства на примере произвольных матриц второго порядка,  A = || ai j ||  и  B = || bi j || . Решение