Сопряженные, эрмитовы и унитарные матрицы

Матрица   , полученная из исходной матрицы  A  заменой ее элементов     комплексно–сопряженными элементами   , называется комплексно–сопряженной.       Очевидно, что

, , .

      Транспонированние и комплексное сопряжение матрицы  A  приводит к эрмитово–сопряженной матрице   .       Если   , то матрица A называется эрмитовой.       Если   , то матрица A называется унитарной.       Операция эрмитового сопряжения произведения матриц обладает следующим свойством:

Предположим, что размерности матриц таковы, что операции умножения соответствующих матриц определены. Тогда

Доказательство. Свойство представляется вполне очевидным. Действительно, операция эрмитового сопряжения матрицы сводится к транспонированию комплексно сопряженной матрицы:

Однако и, следовательно,

.

Пример 1. Показать, что матрица является унитарной. Решение Эрмитово сопряженная матрица имеет вид: Очевидно, что Следовательно,

***

Пример 2. Найти , если Решение

Блочные матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу A и рассечем ее горизонтальными и вертикальными линиями на блоки A_i j :

      Здесь  A_i 1 ,  A_i 2 , ...,  A_i k , ... - матрицы с одинаковым числом строк;  A_1 j ,  A_2 j , ...,  A_k j , ... - матрицы с одинаковым числом слолбцов.       Представленную в таком виде матрицу A называют блочной или говорят, что матрица A разбита на блоки (клетки).       Если размеры блоков выбраны такими, что соответствующие матричные операции определены, то действия над блочными матрицами производятся по тем же правилам, что и в случае обычных матриц (с матричными элементами, обозначенными A_i j ). Однако следует соблюдать осторожность при выборе порядка сомножителей в произведении блоков из-за некоммутативности операции умножения матриц.       Блочная матрица называется блочно диагональной, если она по своему виду совпадает с обычной диагональной матрицей, то есть как если бы блоки  A_i j  представляли собой обычные матричные элементы.       Блочная матрица называется блочно треугольной, если она по своему виду совпадает с обычной треугольной матрицей.

Матрица перестановок

Если в единичной матрице изменить порядок расположения строк, то полученная матрица называется матрицей перестановок. Иначе говоря, квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой только один элемент отличен от нуля и равен единице, называется матрицей перестановок.       Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства матрицы перестановок.

1. Умножение слева матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке строк матрицы A.

2. Умножение справа матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке столбцов матрицы A.

      Пусть, например, пятой строкой матрицы перестановок является строка вида (0, 1, 0, 0, ..., 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы  A = || a_i j ||  является вторая строка (a₂₁ a₂₂ a₂₃ ...) матрицы A, которая располагается в позиции пятой строки результитрующей матрицы.       Таким образом, если в  i-ой строке матрицы перестановок P единица расположена в  j-ом столбце, то умножение матрицы P слева на матрицу A приводит к перемещению  j-ой строки матрицы A в позицию  i-ой строки.       Аналогично, если в  i-ом столбце матрицы перестановок P единица расположена в  j-ой строке, то умножение матрицы P справа на матрицу A приводит к перемещению  j-го столбца матрицы A в позицию  i-го столбца.       Если матрицы перестановок P получена из единичной матрицы E перестановкой местами двуз строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок.       При умножение слева элементарной матрицы перестановок на матрицу A происходит перестановка соответствующих строк матрицы A.       Умножение справа элементарной матрицы перестановок на матрицу A приводит к перестановке соответствующих столбцов матрицы A.       Для любой матрицы перестановок P справедливы следующие свойства:

где - транспонированная матрица перестановок; E - единичная матрица.       Действительно,

где - дельта-символ Кронекера.       Терема 1. Произведение матриц перестановок одного и того же порядка есть матрица перестановок.       Терема 2. Матрица перестановок  n-го порядка может быть представлена в виде произведения (n - 1) элементарных матриц перестановок.       Терема 3. Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.       Доказательство этих утверждений предоставляется читателю.

Примеры матриц перестановок. Элементарные матрицы перестановок:

Матрицы перестановок: