П.2. Ознака д’Аламбера

Теорема. (ознака Д’Аламбера)(Жан Лерон Д’Аламбер (1717-1783) – французький математик, механик і філософ, член Паризької, Петербурзької та інших академій). Якщо для знакододатного ряду (1) існує границя

,

то при ряд збігається, при ряд розбігається.

Зауваження. 1. Значення границі називається сталою Д’Аламбера.

2. Якщо , то ряд (1) розбігається, бо існує такий номер N, що при .

3. Якщо , то ознака Д’Аламбера не може бути застосована.

Таким чином,

Приклад. Дослідити на збіжність ряди, використовуючи ознаку Д’Аламера.

1. .

Розв’язання. Випишемо -й і -й члени ряду:

.

Обчислимо сталу Д’Аламбера:

.

За ознакою Д’Аламбера ряд збігається.

2. .

Розв’язання. Випишемо -й і -й члени ряду:

.

Обчислимо сталу Д’Аламбера:

.

П.3. Ознака Коші

Теорема (ознака Коші) (Огюстен Луї Коші(1789-1857) – французький математик, член Паризької та Петербурзької академій наук)). Якщо для знакододатного ряду (1) існує границя , то при ряд збігається, а при ряд розбігається.

Зауваження. 1. Значення границі називається сталою Коші.

2.Якщо , то ознака Коші не може бути застосована.

Таким чином,

Приклад. Дослідити на збіжність ряди, використовуючи ознаку Коші.

1. .

Розв’язання. Випишемо -й член ряду:

.

Обчислимо сталу Коші:

.

2. .

Розв’язання. Випишемо -й член ряду:

.

Обчислимо сталу Коші:

.

П.5. Інтегральна ознака Коші

Теорема. (інтегральна ознака Коші). Нехай задано знакододатний ряд (1). Припустимо, що існує функція , що задовольняє умову:

1. неперервна, додатна і монотонно спадна на .

2. .

Тоді ряд (1) збігається або розбігається водночас з невластивим інтегралом

.

Приклад. Дослідимо на збіжність узагальнений гармонічний ряд .

Візьмемо функцію і покладемо .

Дослідимо на збіжність невластивий інтеграл

.

Отже і ряд при збігається, а при розбігається.

4. Знакозмінні числові ряди. Абсолютна і умовна збіжність.

Означення. Знакозмінним числовим рядом називається ряд, члени якого мають довільні знаки.

Нехай

– (1)

деякий знакозмінний ряд. Розглянемо ряд

, (2)

члени якого є абсолютними величинами (модулями) членів даного знакозмінного ряду. Цей ряд є додатним, його поведінку можна дослідити на основі прийомів, що вивчалися вище. Існує певний зв’язок між збіжністю знакозмінного ряду і збіжністю ряду, складеного з модулів його членів.

Теорема. Якщо збігається ряд (2), то збігається і знакозмінний ряд (1). Обернене твердження не є вірним.

Означення. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений з модулів його членів.

Означення. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо ряд, складений з модулів його членів збігається, але сам він розбігається.

Відзначимо наступні властивості абсолютно збіжних рядів.

Теорема 1. Будь-який абсолютно збіжний ряд збігається.

Теорема 2. Якщо (1) – абсолютно збіжний ряд з сумою , а сума ряду (2) дорівнює , то .

Наслідок. Якщо -й залишок абсолютно збіжного ряду (1) є , а -й залишок ряду (2) є , то .

Теорема 3. Якщо в абсолютно збіжному ряді довільним чином переставити члени, то отриманий ряд також буде абсолютно збіжним, а сума його буде дорівнювати сумі початкового ряду.

Відзначимо наступні властивості умовно збіжних рядів.

Теорема 4. Нехай (1) – умовно збіжний ряд, (2) – ряд, складений з додатних членів ряду (1), а (3) – ряд, складений з модулів від’ємних членів ряду (1). Тоді обидва ряди (2) і (3) розбігаються.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

(1)

Розвязання. 1) Випишемо -й член ряду та модуль -го члена:

2) З’ясуємо поведінку ряду (2).

Він збігається як гармонічний ряд.

Отже, ряд (1) абсолютно збігається.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду (1).

Розвязання. 1) Випишемо -й член ряду та модуль -го члена:

.

2) З’ясуємо поведінку ряду (2).

– збігається як гармонічний ряд з показником 2. За ознакою порівняння ряд (2) збігається.

Отже, ряд (1) абсолютно збігається.