Інтеграл Фур’є у комплексній формі

Інтегралом Фур’є у комплексній формі називається інтеграл , де функція визначається формулою

Або

де права частина називається подвійним інтегралом Фур’є у комплексній формі.

Перехід від інтегралу Фур’є в комплексній формі до інтегралу Фур’є в дійсній формі и навпаки здійснюється за допомогою формул:

, ,

Поняття про перетворення Фур’є. Косинус- та синус-перетворення Фур’є

Функція , визначена формулою , називається перетворенням Фур’є функції . Функція , визначена формулою

,

називається оберненим перетвореням Фур’є функції .

Якщо функція парна, або задана на проміжку і продовжена на парним способом, то з формул

і будемо мати: ,

де

Якщо функція непарна, або задана на проміжку і продовжена на непарним способом, то з формул

і

будемо мати: ,

де

Функції і називаються косинус- та синус-перетвореннями Фур’є функції відповідно. Функція називається оберненим косинус- та синус перетвореням Фур’є функції відповідно.

Існують таблиці перетворень Фур'є, косинус - перетворень та синус - перетворень Фур'є основних елементарних функцій.

Спектральний аналіз неперіодичного сигналу

Функція , (а також функції (14) і ) називається спектральною щільністю функції .

Модуль спектральної щільності характеризує з точністю до сталого множника щільність амплітуд нескінчено малих гармонічних коливань, оскільки амплітуда коливань в смузі частот між і пропорційна і ширині смуги частот . Тому називають спектром амплітуд. На відміну від спектра амплітуд періодичних коливань, для неперіодичних коливань він є суцільним, неперервним.

Елементи теорії функцій комплексної змінної та операційного числення

Нехай та - деякі області комплексної площини . Якщо кожному значенню відповідає за законом відповідності хоча б одне значення то називають функцією від і позначають

Якщо кожному значенню відповідає одне значення то функція називається однозначною; якщо деяким значенням відповідає більше одного значення то функція називається многозначною.

Приклад. - однозначні функції, визначені на всій комплексній площині

– многозначна ( -значна) функція, визначена на всій комплексній площині.

– многозначна (нескінченнозначна) функція, визначена на множині всіх точок, відмінних від .

Область значень незалежної змінної називається областю визначення функції область називається областю значень функції

Якщо покласти а то завдання функції комплексної змінної рівносильне завданню пари дійсних функцій двох дійсних змінних таких, що для довільного комплексного числа маємо

для усіх .

Функція називається дійсною частиною функції і позначається , а функція називається уявною частиною функції і позначається

Функцію (відображення ) називають оберненою до функції

Однозначну функцію називають однолистою в області , якщо для різних точок відповідні значення функції також різні:

Однолиста функція здійснює взаємно однозначне відображення області на

Якщо функція однозначна, то між областями і встановлюється взаємно-однозначна відповідність, а функція є однолистою на множині .

Взаємно-однозначні функції та - однолисті.

Таким чином, кожна функція комплексної змінної має обернену. В однолистої функції (і тільки в такої) обернена функція є однолистою.

Означення. Функцію називають обмеженою в області , якщо множина її значень обмежена, тобто існує таке число що для усіх