Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів.

1. Сума членів рівномірно збіжного на деякому проміжку ряду неперервних функцій є функція, неперервна на цьому проміжку.

2. Якщо на відрізку функціональний ряд рівномірно збіжний і члени ряду неперервні на , то його можна почленно інтегрувати в межах :

3. Якщо функціональний ряд збіжний на відрізку , а його члени мають неперервні похідні , причому ряд рівномірно збіжний на , то заданий ряд можна почленно диференціювати:

.

Приклад. Дослідити на рівномірну збіжність ряд:

на

Розв’язання.

1)

2)

3) Ряд збігається як геометричний із знаменником .

За ознакою Вейєрштрасса ряд збігається рівномірно.

Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Інтервал збіжності степеневого ряду. Властивості степеневих рядів.

Степеневим рядом називається функціональний ряд вигляду

(1)

де - дійсні числа, які називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

Нехай - фіксоване дійсне число

Степеневим рядом за степенями двочлена називається функціональний ряд вигляду

Заміною змінної такий ряд зводиться до (1), тому будемо розглядати тільки ряди вигляду (1).

Будь-який степеневий ряд вигляду (1) збігається в точці до суми Тому область збіжності степеневого ряду завжди містить принаймні одну точку. Детально про інші точки збіжності дізнаємося з наступної теореми.

Теорема (Абеля) (Нільс Генрік Абель (1802-1829), норвезький математик).

Якщо степеневий ряд (1) збіжний при , то він абсолютно збіжний для всіх значень , що задовольняють нерівність . Якщо при ряд (1) розбіжний, то він розбіжний всюди, де .

Теорема Абеля характеризує множини точок збіжності і розбіжності степеневого ряду:

Якщо – точка збіжності, то інтервал складається з точок абсолютної збіжності;

якщо – точка розбіжності, то інтервали ) і складаються з точок розбіжності.

Радіусом збіжності степеневого ряду (1) називається скінчене додатне число таке, що при степеневий ряд (1) абсолютно збіжний, а при - розбіжний.

Інтервалом збіжності називається інтервал

Зауваження. Область збіжності степеневого ряду збігається з інтервалом збіжності з точністю до двох кінцевих точок . Інтервал збіжності міститься в області збіжності.

Висновок. Областю збіжності степеневого ряду є проміжок, симетричний відносно 0. При ряд збігається в єдиній точці . При ряд збігається на всій числовій прямій.

Приклад. Знайти область збіжності степеневого ряду (1)

Розв’язання.

1) Випишемо -й член ряду та модуль -го члена:

,

2) З’ясуємо поведінку ряду (2)

Застосуємо ознаку Коші:

.

3) Дослідимо функцію :

а) (або ),

отже, радіус збіжності , інтервал збіжності .

б)

При і ряд розбіжний.

При і ряд розбіжний.

в) - розбігається

Відповідь:

Радіус збіжності можна (але не завжди) обчислити за формулами:

або ,

Так, в нашому прикладі .

Але на практиці застосовують ознаки Коші та Д’Аламбера до рядів, складених з модулів членів заданого ряду.