Розділ 1. Арифметичні основи схемотехніки еом

1.1 Системи числення і поняття коду

З цього розділу ви зможете:

• дізнатися про поняття коду та систем числення;

• засвоїти перетворення чисел з однієї системи числення в іншу;

• дізнатися про кодування від'ємних чисел;

• засвоїти форми представлення чисел;

• ознайоми-тися з виконанням основних операцій з числами з фіксованою комою;

• ознайоми-тися з виконанням основних операцій з числами представленими у формі з плаваючою комою.

В процесі переробки інформації цифрові ЕОМ – комп'ютери, оперують числами, які подаються в деякій системі числення.

Cукупність прийомів і правил для записування чисел цифровими знаками, називають системою числення.

Цифрами прийнято називати елементи (символи) алфавіту, які використовуються для запису чисел в деякій системі числення. Кожній цифрі даного числа однозначно ставиться у відповідність її кількісний (числовий) еквівалент.

Розрізняють позиційні і непозиційні системи числення. Система, для якої значення символу, тобто цифри, не залежить від його положення в числі називають непозиційною системою числення. До таких систем відноситься, зокрема, римська система (правда з деякими застереженнями). Тут, наприклад, символ V завжди означає п'ять, незалежно від його місця в записі числа. Є й інші сучасні непозиційні системи.

Позиційна система числення – це система, в якій значення кожної цифри залежить від її числового еквівалента і від її місця (позиції) в числі, тобто один і той самий символ (цифра) може набувати різних значень.

Найбільш відомою позиційною системою числення є десяткова система числення. Наприклад, в десятковому числі 876 перша цифра справа означає 6 одиниць, сусідня з нею – 7 десятків, а зліва – 8 сотень.

Будь-яка позиційна система числення характеризується основою. Основою або базисом q позиційної системи числення називають кількість знаків або символів, використовуваних для подання числа в цій системі.

Цифри числа в позиційній системі числення розміщують на окремих позиціях, які прийнято називати розрядами числа в даній системі числення. Кількість розрядів у записі числа називають розрядністю числа.

У позиційній системі числення число можна представити поліномом:

A_q=a_nqⁿ+...+a₁q¹+a₀q⁰+a_-1q^-1+....+a-_mq^-m, (1.1)

де A_q – довільне число, записування в системі числення з основою q;

a_і – коефіцієнти ряду, тобто цифри системи числення;

n, m – кількість цілих і дробових розрядів відповідно.

Основа системи числення показує, скільки різних значень у межах i-го розряду може набувати кожна цифра a_і числа A. Нумерацію розрядів у цілій частині числа здійснюють ліворуч від коми, а в дробовій – праворуч від коми. Причому, нумерація розрядів починається з 0. Приклади деяких систем числення наведені в таб. 1.1.

Таблиця 1.1. Найбільш поширені системи числення

Основа, q	Назва системи числення	Використовувані символи
2	Двійкова	0,1
3	Трійкова	0, 1,2
5	П'ятіркова	0,1,2,3,4
8	Вісімкова	0,1,2,3,4,5,6,7
10	Десяткова	0, 1,2, 3,4,5, 6, 7, 8, 9
16	Шістнадцяткова	0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С,D,E,F

Десяткова система числення (q = 10) використовує десять цифр а {0,1,2,...,9}. Згідно (табл. 1.1) десяткове число 1961,321 представляється у вигляді:

1961,321₁₀ = 1·10³ + 9·10² + 6·10¹+ 1·10⁰ + 3·10^-1+2·10^-2+ 1·10^-3 = 1000 + 900 + 60 + 1+ 0,3 + 0,02 + 0,001.

Нижній індекс, що приписується числу (у даному прикладі 10), вказує систему числення, в якій записане дане число.

Коефіцієнтами ряду для вісімкової системи числення (q = 8) служать вісім цифр а {0,1,2,...,7}.

Приклад вісімкового числа:

234₈ = 2·8² + 3·8¹ + 4·8⁰ = 128 + 24 + 4 = 156₁₀.

Шістнадцяткова система числення (q =16) використовує шістнадцять символів: десять арабських цифр і перші шість символів латинського алфавіту, тобто а {0, 1, 2,...,9, 10=А, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F}.

Наприклад, число 2745₁₀ в шістнадцятковій системі представляється:

А·16² + В·16¹ + 9·16⁰ =10·16² + 11·16¹ + 9·16⁰ = 2560 + 176 + 9 =2745₁₀.

У двійковій системі числення (q=2) використовують дві цифри 0 і 1, а {0,1}. Приклад запису двійкового числа: 111,01₂. Згідно (табл. 1.1) воно дорівнює:

1·2² + 1·2¹ +1·2⁰ +0·2^-1 +1·2^-2 = 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25 = 7,25₁₀