Гістограма зображення
Гистограммой
ЦИ с уровнями яркости в диапазоне
наз. дискретная функция
,
где
-
это
ый
уровень яркости, а
-
число пикселей на ЦИ, имеющих яркость
.
Общей практикой является нормализация
гистограммы путем деления каждого из
ее значений на общее число пикселей в
ЦИ, обозначаемое
.
Тогда значения нормализованной
гистограммы будут
.
Сумма всех значений нормализованной
гистограммы равна 1. Видоизменение
гистограммы, в частности, эквализация,
может успешно использоваться для
улучшения ЦИ (рис.17).
Эквализация
гистограммы.
Рассмотрим сначала непрерывные функции.
Предполагается, что значения
,
отражающие яркость элементов изображения,
распределены непрерывно в диапазоне
,
при этом значение
соответствует черному, а
- белому. Для
рассматривается
преобразование вида
,
где
.
Функция
удовлетворяет условиям:
а) является однозначной и монотонно возрастающей на ;
б)
.
Обратное
преобразование будет иметь вид:
,
где
.
Уровни
яркости на изображении могут рассматриваться
как значения случайной величины в
.
Пусть
и
означают плотности распределения
вероятностей случайных величин
и
соответственно. Из теории вероятностей
известно:
.
(40)
В обработке изображений особую важность играет функция:
(50)
Правая часть (50) – функция распределения случайной величины . Плотность распределения вероятности всегда положительна, а интеграл функции – площадь под графиком функции, следовательно, функция преобразования (50) является однозначно определенной и монотонно возрастающей. Кроме того, интеграл от плотности распределения вероятности случайной величины при изменении в диапазоне также находится в диапазоне . Таким образом условия а) и б) для функции , указанные выше, удовлетворены.
Рис.17. Четыре основных типа изображений
Тогда
.
(60)
Подставляя
результат для
в (40), получаем:
,
что означает, что есть равномерная плотность распределения вероятностей на отрезке , равная нулю вне его.
Таким
образом, выполнение градационного
преобразования согласно функции (50),
приводит к получению некоторой случайной
величины
,
характеризующейся равномерной плотностью
распределения вероятностей. Важно
отметить, что хотя
зависит от
,
результирующая плотность распределения
вероятностей
всегда является равномерной, независимо
от формы
.
В случае дискретных значений, вместо плотностей распределения вероятностей и интегралов фигурируют вероятности конкретных значений и суммы. Вероятность появления пикселя со значением яркости может быть оценена как
(70)
где
- максимально допустимое число уровней
яркости на изображении.
Дискретным аналогом функции преобразования (50) будет
(80)
Таким
образом, обработанное (выходное)
изображение получается отображением
каждого пикселя входного изображения,
имеющего яркость
,
в соответствующий элемент выходного
изображения со значением
,
согласно (80). Преобразование (80) называется
эквализацией
или линеаризацией
гистограммы.
Задание 3. Показать, что преобразование (80) удовлетворяет условиям а) и б), накладываемым на функцию преобразования.
В отличие от непрерывного случая, невозможно в общем виде доказать, что дискретное преобразование (80) дает в результате некоторый дискретный эквивалент равномерной плотности распределения вероятностей, которой должна соответствовать равномерная гистограмма. Преобразование (80) приводит к растяжению гистограммы входного изображения таким образом, что значения элементов эквализованного изображения будут перекрывать более широкий диапазон уровней яркости. Изображение, уровни яркости которого покрывают весь диапазон возможных значений, обладают многими преимуществами.
Задание 4. К какому эффекту на гистограмме изображения приведет обнуление младшей битовой плоскости?
Задание 5. К какому эффекту на гистограмме изображения приведет обнуление старшей битовой плоскости?
Задание 6. Объяснить, почему операция эквализации гистограммы в дискретном виде не приводит, вообще говоря, к равномерной гистограмме.
Задание 7. Предположим, что цифровое изображение было подвергнуто операции эквализации гистограммы. Показать, что второй проход операции эквализации гистограммы даст в точности тот же результат, что был получен после первого прохода.
Задание
8.
Два изображения
и
имеют гистограммы
,
.
Объясните, как получить гистограммы
для случаев:
а)
;
б)
.