Преобразование Фурье
Основная идея частотных методов улучшения изображений заключается в том, что любая периодическая функция, либо функция, определенная на ограниченном сегменте, может быть представлена в виде суммы синусов и (или) косинусов различных углов (частот), умноженных на некоторые коэффициенты, т.е. в виде ряда Фурье.
Когда функция не является периодической, но площадь под ее графиком конечна, она может быть выражена в виде интеграла от синусов и (или) косинусов, умноженных на некоторую весовую функцию, т.е. представлена в виде преобразования Фурье.
Функция, заданная как рядом, так и преобразованием Фурье, может быть полностью восстановлена при помощи процедуры обращения. Это свойство является очень важным, поскольку оно позволяет работать в «фурье-области», а затем вернуться в исходную область определения функции без потери какой-либо информации.
Прямое
преобразование Фурье
непрерывной функции одной переменной
определяется равенством:
.
По заданному преобразованию Фурье можно получить исходную функцию при помощи обратного преобразования Фурье:
.
Для функции двух переменных прямое преобразование Фурье:
,
Обратное:
.
Преобразование
Фурье дискретной функции одной переменной
,
,
- дискретное
преобразование Фурье
(ДПФ) - определяется равенством:
.
Исходная функция восстанавливается при помощи обратного ДПФ:
.
Понятие частотной области прямо следует из формулы Эйлера:
,
Тогда
.
Т.о.
каждый элемент преобразования Фурье
состоит из суммы по всем значениям
функции
.
Значения функции
,
в свою очередь, умножаются на синусы и
косинусы разных частот. Область значений
переменной
,
на которой принимает свои значения
функция
,
наз.частотной
областью,
поскольку значения переменной
определяют частоты слагаемых, составляющих
преобразование. (Значения переменной
также влияют на частоты, но поскольку
по этой переменной производится
суммирование, это влияние одинаково
для всех значений переменной
).
Каждый из
элементов функции
наз.
частотной
компонентой преобразования.
Модулем или спектром Фурье-преобразования называется величина:
,
Фазой или фазовым спектром:
,
Энергетическим спектром называется:
.
Дискретное
прямое и обратное преобразование Фурье
допускает обобщение на двумерный случай.
Прямое ДПФ функции
(ЦИ)
размерами
:
.
Обратное ДПФ:
.
Переменные
называются
частотными
переменными,
переменные
- пространственными
переменными
или переменными изображения.
Фурье-спектр, фаза, энергетический спектр определяются аналогично одномерному случаю:
,
,
.
Значение
,
т.е. среднему значению ф-ции .
Обычной
практикой является умножение исходной
функции (ЦИ) на
перед вычислением преобразования Фурье.
Можно показать, что
F
,
где
F
– обозначает преобразование Фурье
своего аргумента. Это равенство означает,
что начало координат для фурье-преобразования
функции
(т.е. та точка, где значение этого
преобразования равно
)
находится в точке с координатами
.
Другими словами, умножение функции
на величину
приводит к сдвигу начала координат для
ее образа
в
точку с частотными координатами
.
Пример
100.
Рассмотрим процесс перехода из
пространственной области ЦИ в частотную
с последующим возвращением в
пространственную, реализуемый в среде
Matlab
с использованием стандартных функций
(рис.100-103):
- двумерное прямое преобразование
Фурье;
- двумерное обратное преобразование
Фурье;
- центрирование спектра.
Рис.100. Реализация в среде Matlab чтения монохромного ЦИ; выделение в пространственной области ЦИ 7*7-блока
Рис.101. Результат применения двумерного прямого преобразования Фурье к 7*7-блоку матрицы ЦИ
В результате применения двумерного прямого преобразования Фурье к выделенному из ЦИ 7*7-блоку получена 7*7-матрица PDPF коэффициентов ДПФ (рис.101):
PDPF=
1000*
Результат применения к PDPF обратного двумерного преобразования Фурье представлен на рис.102 (сравните с исходным 7*7-блоком (рис.100)).
Рис.102. Результат применения двумерного обратного преобразования Фурье к 7*7-блоку частотных коэффициентов (см.рис.101)
Результат центрирования спектра 7*7-блока ЦИ – матрица PDPFC представлена на рис.103.
Рис.103. Результат центрирования частотного спектра 7*7-блока ЦИ
PDPFC=
1000*
Для сравнения матрицы ДПФ и центрированного ДПФ блока вместе (рис.104 – одинаковым цветом выделены одинаковы блоки матриц):
Рис.104. Матрица ДПФ (а); матрица центрированного ДПФ для одного 7*7-блока ЦИ (б)
Задание 11. Показать, что преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье суть линейные операции.