3. Пьезоэлектрический резонатор

Пьезоэлектрический резонатор в самом общем смысле представляет собой упругое твёрдое тело из пьезоэлектрического кристаллического материала, способное приходить в состояние резонансных колебаний под действием переменного электрического поля соответствующей частоты. В простейшем случае – это пластинка или брусок определённых размеров формы и ориентации по отношению к кристаллографическим осям. Для подведения электрического напряжения к резонатору на соответствующей поверхности его наносятся металлические (например, серебряные) электроды. Переменное электрическое поле возбуждает резонатор (т. е. вызывает переменные деформации) посредством обратного пьезоэффекта. Переменная деформация, в свою очередь, вызывает пьезоэлектрические заряды на электродах посредством прямого пьезоэффекта. Эти пьезоэлектрические заряды оказывают так называемую обратную пьезоэлектрическую реакцию на возбуждающий генератор. Именно эта реакция способствует применению резонатора в технике.

Величина обратной пьезоэлектрической реакции зависит от соотношения между собственной частотой резонатора и частотой возбуждающего поля. Пока частота возбуждающего поля много меньше частоты собственных колебании данного резонатора (низкая частота деформации резонатора создаёт условия близкие к статическим), пьезоэлектрическая обратная реакция соответственно мала. По мере приближения частоты возбуждающего поля к соответствующей частоте резонатора, амплитуда механических колебаний возрастает и, следовательно, увеличивается обратная реакция. Таким образом, при изменении частоты возбуждающего поля, меняется обратная пьезоэлектрическая реакция, то есть меняется общее электрическое сопротивление резонатора и, следовательно, меняется влияние резонатора на электрическую цепь, в которой он находится.

Оказывается, что поведение резонатора в электрической цепи теоретически можно описать, заменив резонатор эквивалентной схемой. Эквивалентной электрической схемой называется группа элементов R, L, С, С₀ (сопротивление, индуктивность и емкости, соответственно), соединенных друг с другом так, что, подставив вместо действительного резонатора какую-нибудь эту группу R, L, С, С₀, мы получим, что ее воздействие на внешнюю цепь будет таким же, как воздействие самого резонатора.

Величины эквивалентных параметров R, L, С, С₀ и способ их соединения между собой получаются из общих уравнений движения резонатора.

Известно, что электрический заряд q₀ заряженного до напряжения V конденсатора С₀ равен C₀V. Однако ecли между обкладками конденсатора находится пьезоэлектрический диэлектрик, например, кварц X – среза, то электрическое поле, как было сказано, вызывает деформацию пластинки и вследствие прямого пьезоэффекта, на ее поверхности появляется заряд q₁ , так что общий заряд конденсатора становится равным:

q = C₀V + q₁.

Величина заряда q₁ определяется пьезоэлектрическими и упругими свойствами данного диэлектрика.

При изменении электрического напряжения V во времени, например, когда V = V₀ sint, через резонатор течёт ток

Это выражение показывает, что пьезоэлектрический резонатор можно иначе представить себе как эквивалентную схему, состоящую из двух ветвей, по одной из которых течёт ток i₀ через ёмкость С₀, а по другой – ток i₁. С₀ представляет собой статическую емкость резонатора – конденсатора.

Для выяснения вида второй ветви напишем уравнение движения пластинки в общем виде. Для пластинки, масса которой равна 2М, коэффициент трения W и коэффициент упругости G, находящейся под действием периодической силы F, уравнение движения имеет вид

+ + =

где – сила Ньютона;

– cила трения;

– сила упругости,

– периодическая сила, действующая на пластинку, тогда

(8.12)

Сила, действующая на пластинку, пропорциональна приложенному напряжению, то есть Из уравнения пьезоэффекта следует, что Дифференцируя это выражение по времени, получаем:

_(8.13)

Дифференцируя уравнение движения (8.12) и подставляя в него значения (8.13), получим:

(8.14)

Сравним это уравнение с уравнением для последовательного колебательного контура, состоящего из индуктивности L, емкости С и сопротивления R: Ток, текущий в таком контуре под действием напряжения V = V₀ sint, удовлетворяет известному дифференциальному уравнению

(8.15)

Cравнение (8.14) и (8.15) показывает, что i₁ нашего резонатора течет по ветви, представляющей собой последовательное соединение R, L, C. Эту ветвь называют пьезоэлектрической.

Таким образом, если эквивалентные параметры R, L, C и С₀ соединены между собой так, как показано на рис. 8.3, то полученный контур эквивалентен рассматриваемому резонатору, т. е. он оказывает на задающий генератор такую же реакцию.

Такая замена резонатора эквивалентным контуром возможна лишь вблизи собственных частот резонатора. Каждой собственной частоте резонатора соответствует определенное значение эквивалентных параметров R, L, C, зависящих от пьезоэлектрических, упругих и диэлектрических свойств кристалла, а также от его размера.

Рис. 8.3. Эквивалентная схема пьезоэлектрического резонатора

Изучение поведения резонатора с помощью его эквивалентного контура широко используется в технике, так как аналитическое исследование сложных электромеханических систем – это очень трудная задача; с другой стороны, исследование даже сложных электрических цепей осуществляется сравнительно просто с помощью приёмов, разработанных в электротехнике. Знание эквивалентных параметров позволяет судить о качестве резонатора, применяемого в технике. Качество резонаторов обычно принято характеризовать добротностью Q и емкостным отношением r, причем

Q (8.16)

где  – угловая частота подаваемого на резонатор электрического напряжения.

Чем больше добротность Q и чем меньше емкостное отношение, тем лучше резонатор, т. е. тем острее его частотная характеристика и тем большая часть энергии превращается из электрической в механическую, т. е. сильнеe «раскачивается» резонатор.