Пример расчета погрешности

Пусть в эксперименте измеряли линейные размеры параллелепипеда с целью определить его объем. Высота h, длина а и ширина b измерялись по 3 раза с помошью штангенциркуля с ценой деления нониу­са 0.1 мм. В результате чего были получены следующие результаты:

i	a, мм	b, мм	h, мм
1	12,7	12,7	14,S
2	12,7	12,8	14,9
3	12,7	12,9	14,7

Расположим эти данные в электронной таблице MS Excel в столбцах А, В и С (рис. 14). Оставив место на поясняющие подписи, в ячейках А7, В7 и С7 вычислим соответствующие средние арифметические значения. Для этого в ячейку А7 записываем

=СРЗНАЧ(А2:А4)

и протягиваем ее на ячейки В7 и С7 (рис. 14).

Рис.14

Для расчета среднеквадратичного отклонения каждой из измерен­ных величин необходимо просуммировать квадраты разности между каждым измеренным значение и средним арифметическим. Например, для величины а нужно найти значение , где a_i - это измеренные значения. Используем для этого встроенную функцию КВАДРОТКЛ. В ячейке А9 запишем (Ошибка! Источник ссылки не найден.):

=КВАДРОТКЛ(А2:А4)

Среднеквадратичное отклонение вычисляется следующим образом:

.

Так как сумма квадратов уже посчитана в ячейке А9, то для вычисления среднеквадратичного отклонения необходимо вычислить корень из значения А9 деленного на 6:

= КОРЕНЬ(А9/6)

Рис. 15

Запишем эту формулу в ячейку А10.

Выделив и протянув ячейки А9 и А10 вправо, получим сумму квадратов и среднеквадратичное отклонение для двух других измерен­ных в эксперименте величин (Ошибка! Источник ссылки не найден.)

Далее необходимо рассчитать случайную погрешность много­кратных измерений, которая для величины а вычисляется по формуле

,

где t_an- коэффициент Стьюдента. Для n = 3 (три измерения) и довери­тельной вероятности α= 0.95 получим коэффициент Стьюдента в ячейке С12

=СТЬЮДРАСПОБР(1-0,95;3-1)

Рис.16

А в ячейках А13, В13, С13 рассчитаем случайные погрешности многократных измерений для величин а, b, h. соответственно (рис. 16):

=А10*С12

=В10*С12

=С10*С12

В этом эксперименте все три величины а, b, h измерялись одним и тем же прибором - штангенциркулем с ценой деления нониуса d = 0,1 мм. Поэтому погрешность однократных измерений Δ_ОИ всех трех величин будет одинаковой и рассчитывается с учетом доверительной вероятности α = 0,95 как

Δ_ОИ =d•α = 0,1 • 0,95 = 0,095 мм.

Данную величину нетрудно рассчитать в уме, но для большей на­глядности также внесем эти вычисления в электронную таблицу: цену деления прибора d - в ячейку В14, доверительную вероятность α – в ячейку В15, а результат вычисления ошибки однократных измерений по формуле =В14*В15 - в ячейку С16 (рис. 17).

Для каждой измеряемой величины необходимо рассчитать пол­ную погрешность. Для величины а это следует сделать по формуле .Запишем эту формулу в ячейку А18 в виде:

= К0РЕНЬ(А13^{^}2+$С16^{^}2).

Рис.17

У ячейки С16, в которой расположена погрешность однократных измерений, зафиксируем номер строки и протянем вправо (по столбцам), чтобы получить погрешность Δb и Δh измерений двух других величин b и h (рис. 17).

Искомый объем тела рассчитывают, используя средние значения каждой измеренной величины (в обозначениях, используемых на рисунках = <а>, = <b> и = <h>):

<V> = <а>• <b>• <h>.

З апишем эту формулу в ячейку В20 в виде:

=А7*В7*С7.

Погрешность объема рассчитывается по формуле (как погреш­ность косвенных измерений):

.

Все необходимые для расчета по этой формуле значения расположены в таблице следующим образом: <a> - в ячейке А7, <b> - в ячейке В7, <h> - в ячейке С7, <V^:> - в ячейке В20, Δа - в ячейке А18. Δb - в ячейке В18, Δh - в ячейке С18. Поэтому в ячейку F20 запишем формулу для расчета погрешности объема в виде (рис. 18, а):

=В20*КОРЕНЬ((А18/А7)^{^}2+(В18/В7)^{^}2+(С18/С7)^{^}2)

Относительная погрешность (в процентах):

Эту формулу запишем в ячейку F21 в виде (рис. 18, б):

=F20/B20*100

Согласно результатам вычислений окончательный результат не­обходимо округлить до десятков (до первой значащей цифры в погреш­ности) и записать в виде:

V= (2410±70) мм³

Это также можно выполнить в электронной таблице MS Excel с помощью встроенной функции ОКРУГЛ(число;порядок). использова­ние которой нетрудно освоить самостоятельно.

a

б

Рис.18