Исходные дополнительные данные для задачи 2

i	х2 – площадь паркинга (десятки автомашин) по вариантам
	-	А	Е	И	О	Я
1	1	1	1	0	1	1
2	2	2	1	1	1	2
3	2	3	2	2	2	3
4	3	3	3	2	2	3
5	3	4	3	3	3	4
6	4	3	4	4	5	4
7	6	6	7	6	6	5

4. Примеры решения задач Задача №1

Решить задачу №1 по данным варианта из табл 1.

1.1. Нанести в координатах ХY точки на плоскость (построить корреляционное поле).

Решение. Для наглядности выберем наши данные из табл.1. в табл. 3.

Таблица 3

xi	1	1	2	3	4	5	8
yi	2	3	4	5	5	7	14

На рис. 1 представлено корреляционное поле. Как видно, оно должно хорошо аппроксимироваться прямой линией. Зависимость между Х и Y тесная и прямая.

у
16
14
12
10
8
6
4
2
																											х
	1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13

Рис. 1

1.2. Найти методом наименьших квадратов уравнение регрессии Y по Х в линейной форме:

=b0+ b1x.

(1)

Решение. Расчетные формулы для неизвестных параметров регрессии:

(2)

На основе табл. 3 рассчитаем необходимые суммы, входящие в формулу (2).

Таблица 4

xi	yi	x2	xiyi	(xi- )2	xi	ei2=( xi-yi)2
1	2	1	2	5,90	1,97	0,00
1	3	1	3	5,90	1,97	1,06
2	4	4	8	2,04	3,51	0,22
3	5	9	15	0,18	5,05	0,00
4	5	16	20	0,32	6,59	2,53
5	7	25	35	2,46	8,13	1,28
8	14	64	112	20,88	12,75	1,56
24	40	120	195	37,68		6,65

(3)

Искомые оценки параметров регрессии и само уравнение регрессии:

b1= (27,86-3,435,71)/(17,14-3,432) =8,27/5,38=1,54 b0=5,71-1,543,43=0,43 =0,43+1,54x.

1.3. Построить линию регрессии на координатной плоскости XY.

Решение. Искомую линию проще всего построить по двум точкам (см. рис. 1), например (0; 0,43) и (8,00; 12,75).

1.4. Показать графически и аналитически, что линия регрессии проходит через точку ( , ).

Решение. Из графика на рис.1 видно, что линия регрессии проходит через точку “средних” ( =3,43; =5,71). Проверим это аналитически: =0,43+1,543,43 = 5,71, что и требовалось доказать.

1.5. На сколько вырастет средний объем продаж при увеличении х на 1.

Решение. При увеличении торговой площади на 1 (100 м²) в среднем объем продаж увеличится на b₁= 1,54 (т.е. на 15400 руб./день).

1.6. Имеет ли смысл свободный член в уравнении регрессии.

Решение. Свободный член b₀=0,43 смысла не имеет, т.к. при нулевой торговой площади положительного объема продаж быть не может.

1.7. Вычислить коэффициент корреляции между переменными X и Y.

Решение. Используем формулу:

(4)

Здесь известно все, кроме

Окончательно

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о высокой (почти функциональной) зависимости объема продаж от размера торговой площади.

1.8. Определить графически и аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина "СИ" с торговой площадью х=11 (напомним, что это 1100 м²).

Решение. Прогнозное значение из рис.1 и из формулы совпадают:

=0,43+1,5411=17,37 (173700 руб./день)

1.9, а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж.

Решение. Оценка значения условного МО М_х=11(Y) равна 17,37. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _х=11, нужно оценить дисперсию ее оценки .

Для этого определим дисперсию возмущений (см. табл. 4, графы 4-6):

Искомая дисперсия

Для статистики Стьюдента число степеней свободы k = n – 2 = 7 – 2 = 5. По табл. П2 находим значение t_0,95;5=2,57 критерия Стьюдента. Искомый 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина "СИ":

Нижнее значение интервала: 17,37-2,571,48=13,57.

Верхнее значение интервала: 17,37+2,571,48=21,37.

Окончательно интервал имеет вид:

13,57  M_x(Y)  17,37.

1.9, б). Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж _xo=11.

Решение. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _хo=11, нужно оценить ее дисперсию:

Нижнее значение интервала: 17,37-2,571,88=12,54.

Верхнее значение интервала: 17,37+2,571,88=22,20.

Окончательно интервал имеет вид:

12,54   22,20.

Как и следует из теории, этот интервал больше предыдущего и большой по величине. Коэффициент осцилляции для него:

К_о=(R/ )100%= ((22,2-12,54)/17,37)100%=55,6%.

1.10, а) Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента регрессии ₁.

Решение. Общая формула для расчета интервала:

b₁-  ₁  b₁+,

где

Нижнее значение интервала: 1,54-0,48=1,06.

Верхнее значение интервала: 1,54+0,48=2,02.

Окончательно интервал имеет вид:

1,06  ₁  2,02.

1.10, б) Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки дисперсии возмущений ².

Решение. Найдем по табл.П3 (критерий Пирсона) табличное значение статистики хи-квадрат:

Формула для доверительного интервала:

1.11, а) Оценить на уровне =0,05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Фишера.

Решение. Вычислим суммы квадратов.

Общая сумма:

Q=(y_i- )²=13,77+7,35+2,93+0,51+0,51+1,67+68,73= 95,47.

Регрессионная сумма:

Q_R=( _i- )²=13,99+13,99+4,84+0,44+0,78+8,56+49,56=92,16.

Остаточная сумма: Q_e=( _i-у)²=6,65 (см. табл. 4).

Значение статистики Фишера :

Уравнение регрессии значимо, если F > F_,k1,k2, где степени свободы k₁=m-1=2-1=1, k₂=n-m=7-2=5. По табл. П4 находим критическое значение F_0,05;1;5=6,61. Так как 69,66 > 6,61, то уравнение значимо: коэффициент регрессии b₁ =1,54 значимо отличается от нуля.

1.11, б) Оценить на уровне =0,05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Стьюдента.

Решение. Уравнение парной регрессии значимо, если t>t_крит. Значение статистики Стьюдента:

По табл. П2 находим t_крит.=t_0,95;7-2=5=2,57. Так как 8,22 > 2,57, то гипотезу Н_о(Н_о : β₁=0) отвергаем и принимаем противоположную гипотезу Н₁: уравнение значимо.

1.12. Определить коэффициент детерминации R² и раскрыть его смысл: на сколько процентов в среднем объем продаж зависит от размера торговой площади.

Решение. Используем формулу: R²= Q_R/Q = 92,16 / 95,47 = 0,97. R² показывает, какая доля вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Ответ: эта доля составляет 97%.