Задача №2

Решить задачу №2 по данным варианта из табл. 1 и 2.

2.1) Нанести в координатах х₂у точки на плоскость (построить корреляционное поле).

Решение. Для наглядности выберем наши данные из табл. 1 и 2. Из рис. 2 видно, что прямая линия хорошо аппроксимирует связь между у и х₂. Эта связь прямая и очень тесная.

у
15
12
9
6
3
							х2
	1	2	3	4	5	6

Рис. 2

2.2. Записать для своего варианта матрицу Х значений объясняющих переменных (матрицу плана).

Решение. См.среднюю матрицу в п. 2.4.

2.3. Записать транспонированную матрицу плана .

Решение. См. левую матрицу в п. 2.4.

2.4. Найти произведение матриц .

Решение.

2.5. Найти обратную матрицу ( )^-1.

Решение. Для краткости введем обозначение: А= . требуется найти обратную матрицу А^-1. Используем формулу:

где - определитель матрицы А,

– транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы А.

=712079+249621+219624-2112021-96967-792424=192.

Находим алгебраические дополнения:

А11 = 120  79 – 96  96 =264;	А12 = -(24  79 – 96  21) = 120;
А13 = 24  96 – 120  21 = -216;	А21 = -(24  79 – 21  96) = 120;
А22 = 7  79 - 21  21 = 112;	А23 = -(7  96 – 24  21)= -168;
А31 = 24  96 – 21  120 = -216;	А32 = -(7  96 – 21  24) = -168;
А33 = 7  120 – 24  24 = 264.

Обратная матрица:

Проверка. Если расчеты верны, то должно выполниться равенство:

А А^-1 = Е.

Для повышения точности множитель 1/192 введем отдельно.

Как видно, равенство выполнено, значит расчет обратной матрицы выполнен верно.

2.6. Найти произведение матриц .

Решение.

2.7. Найти уравнение регрессии Y по Х₁ и Х₂ в форме =b₀+ b₁ х₁ + + b₂х₂ методом наименьших квадратов путем умножения матрицы ( .)^-1 на матрицу , т.е. рассчитать коэффициенты регрессии по формуле b=( )^-1 .

Решение.

Итак, ответ: b₀ = -0,88; b₁ = 0,50; b₂ = 1,63. Уравнение множественной регрессии имеет вид: = -0,88 + 0,50x₁ + 1,63x₂.

2.8. Объяснить смысл изменения значения коэффициента регрессии b₁.

Решение. В задаче №1 значение b₁=1,54, а теперь его значение снизилось до b₁=0,50. Это связано с тем, что на объем продаж помимо торговой площади теперь влияет учитываемая площадь паркинга.

2.9. Рассчитать значения коэффициентов эластичности для обоих факторов и сравнить влияние каждого из них на средний объем продаж.

Решение. Коэффициент эластичности в общем случае есть функция объясняющей переменной, например:

Если то при увеличении х₁ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0,30%. Аналогично при увеличении х₂ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0,86%.

2.10. Оценить аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина "СИ" с торговой площадью х₁=11 (1100 м²) и паркинговой площадью х₂ = 8 (80 автомашин).

Решение. Объем продаж рассчитаем по уравнению регрессии:

= -0,88 + 0,50  11 + 1,63  8 = 17,66.

2.11, а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина "СИ".

Решение. По условию нужно оценить значение М_х(Y), где вектор переменных _. Выборочной оценкой условного МO М_х(Y) является значение регрессии (11, 8) = 17,66. Для построения доверительного интервала для М_х(Y) нужно знать дисперсию оценки и дисперсию возмущений s²:

Для удобства вычислений составим табл. 5.

Таблица 5

i	xi1	xi2	yi		ei
1	1	1	2	1,25	0,75	0,56
2	1	2	3	2,88	0,12	0,02
3	2	2	4	3.38	0,62	0,39
4	3	3	5	5.51	-0,51	0,26
5	4	3	5	6,01	-1,01	1,02
6	5	4	7	8,14	-1,14	1,30
7	8	6	14	12,90	1,10	1,21
∑	24	21	40	40,07	-0,07	4,76

На основе табличных данных:

По табл. П2 находим критическое значение статистики Стьюдента t_{0,95; 7-2-1=5} = 2,78. Полуинтервал  = t_{0,95; 5∙} = 2,78  1,46 = 4,05.

Нижняя граница интервала: _min = _Xo -  = 17,66 - 4,05 = 13,61.

Верхняя граница интервала: _mах = _Xo +  = 17,66 + 4,05 = 21,71. Окончательно доверительный интервал для среднего прогнозного значения _Xo : 13,61  М_Хo(Y)  21,71. Интервал большой, что объясняется слишком короткой выборкой.

2.11, б) Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж магазина "СИ" .

Решение. Интервал рассчитаем по выражению:

где

Полуинтервал  = 2,78  1,82 = 5,06. Нижние и верхние границы интервала: _min = 17,66 - 5,06 = 12,60 и _max = 17,66 + 5,06 = 22,72. Окончательно интервал имеет вид: 12,60   22,72. Как и следовало ожидать, данный индивидуальный интервал больше предыдущего среднего.

2.12. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

Решение. Стандартная ошибка рассчитывается по формуле:

где выражение под корнем есть диагональный элемент матрицы ^-1.

Отсюда: s_b1 = 1,09 = 1,28; s_b2 =1,09 = 0,83.

Так как t = b₁/ s_b1 = 0,50/1,28 = 0,39 < t_0,95;4 = 2,78, то коэффициент b₁незначим (незначимо отличается от нуля).

Так как t = b₂/ s_b2 = 1,63/0,83 = 1,96 < t_0,95;4 = 2,78, то и коэффициент b₂ незначим на 5%-ном уровне.

2.13. Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов регрессии ₁ и ₂ и дисперсии ².

Решение. Интервалы коэффициентов регрессии рассчитываются по формуле: b_j + t_1-,n-p-1s_bj  _j  b_j + t_1-,n-p-1s_bj.

Поскольку оба коэффициента регрессии незначимы, то не имеет смысла строить для них доверительные интервалы.

2.14. Определить множественный коэффициент детерминации и проверить значимость уравнения регрессии на уровне =0,05.

Решение. Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

;

Уравнение регрессии значимо, если (критерий Фишера):

F = R² (n-p-1)/(1- R²) p > F_;k1;k2.

Отсюда F = 0,96(7-2-1)/(1-0,962)2 = 24,62 > F_0,05;2;4.

Вывод: уравнение значимо.

2.15. Определить, существенно ли увеличилось значение коэффициента детерминации при введении в регрессию второй объясняющей переменной.

Решение. Значения коэффициентов детерминации для регрессий с одной и с двумя объясняющими переменными соответственно равны: R² = 0,97 и R² = 0,96. Увеличения значения не произошло. Введение второй переменной не увеличило адекватность модели.