12. Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящего в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – это вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, область пространства и т.д.) Пусть отрезок ι составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка, это означает, выполнение след.предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок ι пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок ι определяется равенством: P= Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка – это означает выполнение след.предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством: P= Замечание 1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу в указанном выше смысле в область g, являющуюся частью области G, равна P= Замечание 2. В случае классического определения вероятности вероятность достоверного или невозможного события равна 1 или 0. Справедливы и обратные утверждения. Если вероятность события равна 1 или 0, то событие достоверно или невозможно. В случае геометрич.о опред. Вер-ти обратные утверждения не имеют смысла. Напр, если вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна 0, то это событие вполне может произойти и следовательно не является невозможным.

13.Дискретные случайные величины. 13.Дсв.

Опр.: Величину называют случайной, если в результате испытания она примет, лишь одно возможное значение заранее неизвестное и зависящее от случайных причин.

К каждой СВ соответствует множество значений, которые она может принимать, например: число мальчиков среди 100 новорожденных - это случайная величина, которая может принимать целые значения от 1 до 100. Обозначают СВ большими буквами, а их возможные значения малыми буквами. Различают два вида СВ: -Дискретные; - Непрерывные. Опр.: СВ, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятностями называют (ДСВ). Непрерывной называется СВ, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Соответствие между отдельными возможными значениями ДСВ и их вероятностями называется Законом распр.ДСВ.

Для ДСВ Закон распред. может быть задан 3 способами: -в виде таблицы; - аналитически; - графически. Рассм. Закон распред. ДСВ в виде соответствующей таблица, состоящей из 2 строк. В первой строке указываются возможные значения СВ, а во 2 –их вероятности.

Х	Х1	Х2	……	Хn
Р	P1	P2	…….	Pn

Опр. :табличный Закон распред. называется рядом распределения ДСВ.

Поскольку в 1 испытании СВ принимает только 1 возможное значение, то события

Х= х1; Х= х2…..Х= Хn образуют полную группу, а значит сумма их вероятностей равна 1

Р1 + Р2+….+Рn= 1. Если множество возможных значений ДСВ Х бесконечно, то соответствующий ряд вероятностей сходится и его сумма равна 1 : Р1 + Р2+….+Рn= 1.

Закон распределения ДСВ Х может быть задан аналитически (в виде формулы) Р (Х=хi) = f(xi) или с помощью функции распределения. Закон распред. ДСВ Х можно изобразить графически, для этого в прямоугольной системе координат строят точки М1(Х1;Р1), М2(Х2;Р2), Мn(Хn;Рn), и соединяют их отрезками, полученную фигуру называют многоугольником распределения или полигоном распределения вероятностей.

График!!!

Пусть производится n независимых испытаний. В каждом из них событие А может появиться либо не появиться.

Пусть вероятность Р появления события А в каждом испытание постоянна. В качестве ДСВ Х рассмотрим число появлений события А в этих n-испытаниях. Очевидно, что Х1=0, Х2=1, Х3=2,…Хn+1=n. Вероятности этих возможных значений х=к вычисляются по формуле Бернулли: Pn (K) =Cn ^K *p ^K*q ^N-K, где К=1-Р –вероятность противоположного события (не появления события А в одном испытании).

Формула представляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины –числа появлений событий А в n- независимых испытаниях, который называется биномиальным распред.. Используя эту формулу можно составить таблицу биномиального распределения.

Пусть в каждом из n производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Для случая малых значений р и больших значений n используется Асимптотическая формула Пуассона. Для нее произведение n*p – является постоянной величиной, те n*p= Mλ =const. Тогда вероятность того, что событие А наступает ровно К- раз, задается формулой, которая представляет собой закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий: Рn(K)=( λ ^K *e ^–λ )/К ! .