14.Числовык характеристики Дискретной Случайной Величиной (дсв).

Закон распределения ДСВ дает исчерпывающую информацию о ней, тк позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с случайной величиной.

Однако такой закон распределения бывает трудно обозримым и не всегда удобным для исследования. Рассмотрим числовые характеристики ДСВ, которые вполне отражают поведение этой случайной величины. Мат. Ожид. или средним значением ДСВ Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности M(X);Е(Х); Х (с чертой наверху). М(Х)=Х1Р1+Х2Р2+…+ХnPn

Замеч.1 из определения следует, что математическое ожидание заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины. Замеч. 2 математическое ожидание рассматривается как характеристическое положения случайной величины, ее центр распределения. Св-ва математ. Ожид.: 1.Матем. ожид. постоянной величины равно самой постоянной величине М(С)=С, где С= const. 2. М (K*X) = K*M (X) 3. M (X±Y) = M(X) ± M(Y) 4. M (X*Y) = M(X) * M(Y), если X и Y –независимые случайные величины. 5. M (X±С) = M(X) ± С 6. М(Х- М(Х))=0 –мат. Ожид. отклонения св от ее мат. ожидания равно 0. Дисперсия ДСВ: Дисперсией СВХ (рассеянием) называют мат. ожидание квадрата ее отклонения от мат. Ожид.D(X) ;VarX ; Ϭ ² – обозначения.

D(X) =M (x-M(X) ²*pi Замеч. из определения следует что дисперсия D(X)≥ 0.

Если СВХ- дискретная с конечным числом значений тоЕсли СВХ- дискретная с бесконечным но с счетным множеством значений то

(только вместо n знак ∞).Дисперсия D(X) имеет размерность квадра СВ поэтому в качестве показателя рассеяния используют величину √D(X). Опр: средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением СВХ называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии. Обозначают его(отклонение) Ϭ или Ϭ(Х); Ϭ(Х)= √D(X). Св-ва дисперсии СВ: 1. D(C )=0, где С= const; 2. D(K*X)=K²ⁱ* D(X); 3. D(X)= M(X²)- M ²(X); 4. D(X±Y)= D(X) +D(Y), где X иY- независимые СВ.Опр.: мат. ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и другие числа призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения называют числовыми характеристиками случайной величины.

Замеч.: Обратим внимание на то, что сама величина Х случайная, а ее числовые характеристики являются величинами не случайными, постоянными, поэтому их часто называют параметрами распределения св.

15.Функция распред. Св.

В качестве исчерпывающего описания ДСВ выступает закон ее распределения, представляющий собой ряд распределения или формулу для нахождения вероятности любых значений СВХ. Однако такое описание СВХ не является единственным и не универсально, так оно не применимо для случайной непрерывной величины, поскольку нельзя перечислить все бесконечное несчетное множество ее значений и вероятности каждого отдельно взятого значения НСВ =0. Для описания з-на распред. СВХ возможен и другой подход: рассматривать не вероятности событий Х=х для разных значений х, а рассматривать вероятности события Х<х, где х- текущая переменная . Вероятность Р(Х <х)- является функцией от Х. Опр.: Функцией распред. СВХ называется функция F(X), выражающая для каждого Х вероятность того, что случайная величины Х, примет значение меньшее Х, те F(X) =P(X <x) . Функция F(X) иногда называется интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Геометрически функция распределения интегрируется как вероятность того, что случайная точка Х попадает левее заданной точки. Рисунок!!!!

Графически функция F(X) имеет вид:

График!!!

Замечания:

1.При подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение, про такую функцию говорят. Что она непрерывна слева, те Iim(надпись x→a→0 под словом Iim) F(X)=F(a). Эти точки на графике выделены. 2.Функция распред. любой ДСВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках соответствующих возможным значениям СВ и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функция F(X)=1. Св-ва функции распред.: 1. 0 ≤ F(X) ≤ 1; 2. F(X)-не убывающая функция на всей числовой оси; 3.F(-∞)=0 ;F(+∞)=1; 4.Вероятность попадания СВ в интервалах [x1; x2] равна приращению ее функции распред. на том интервале, те Р(Х1 ≤ Х ≤Х2)=F(X2) – F(X1).