19.Основные законы распределения нсв.

1.Равномерный з-н распределения. НСВХ имеет _{равномерный}(прямоугольный) з-н распред.на отрезке [а;б], если е плотность вероятности F(х) задается формулой: F(х)=

Рис.1. рис.2.

На рис.1 представлена кривая распред.F(х). На рис.2 график функции распред F(х).

Теорема:

F(Х)= ;М(Х)= ; D(Х)= СВХ,распределенная по равномерному з-ну на отр.[0, 1] называется случайным числом от 0 до 1. 2.Показательный (экпоненциальный) з-н распред. НСВХ имеет показательный з-н распред.с параметром λ>0, если ее плотность вероятности имеет вид:

F(х)=

Рис.3. рис.4.

На рис.3 кривая распред.F(х). На рис.4. график функций распред.F(х).

Теорема: F(х) = ; М( х)= 1/λ. D(х)= 1/ λ ². 3.Нормальный з-н распред. Главная особенность этого з-на распред.состоит в том,что он является предельным з-ом, к которому приближаются другие з-ны распред.при весьма чато встречающихся типичных условиях.

НСВХ имеет норм.з-н распред.( з-н Гуасса) с параметрами а и ϭ², если ее плотность вероятности имеет вид (х) =

Рис.5. рис.6.

Кривую, нормального з-на распред.наз-ют нормальной или Гуассовой кривой.На рис.5 приведена нормальная кривая с (х) араметрами а и ϭ^2. На рис.6. график ф-и распред. F_N(Х). СВ-у Х,распределенную по норм.з-ну с параметрами а и ϭ² обозначают: Х~N(а; ϭ²).

Теорема:М(х)=а. D(х)= ϭ². Если ϭ=константа,то при изменении центра ассиметрии распред.а нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс не меняя формы; вправо при увеличении а.Если а= кост.,то при увеличении сигма кривая становится более плоской, прижимаясь к оси абсцисс. При уменьшении сигма, кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков.М(а) хар-ет положение центра кривой, а параметр D(ϭ²) харет форму кривой.Нормальный з-н распред.СВХ с параметрами а=0 и ϭ²=1 наз-я стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая- станлартной или нормированной. Х~N(0;1). Теорема: ф-я распред. F_N(х)= ½+½ ( ), где (х)- ф-я Лапласса или интеграл вероятностей. (х)= . Свойства СВХ~N( а; ϭ²). 1.Р(х₁≤Х≤х₂)= ½((Ф(t₂ )-Ф(t₁)),где t= ;

2.Р(│х-а│≤∆)=Ф(t), где т=∆/ ϭ. Правило 3-х сигм. Если СВХ имеет нормальный з-н распред/ с параметрами а и ϭ², то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале ( а-3ϭ; а+3ϭ). А=0 коэф.ассиметрии норм.распред.А=0 эксцесс норм.распред. Поэтому крутость других распределений определяется по отношеню к нормальному.

20.Вариационные ряды и их графическое изображение.

Различные значения признака (СВХ) наз-я вариантами х _i. Первый шаг к осмыслению стат.данных- упорядочение, т.е.ранжирование.Ранжирование ряда данных это расположение вариантов в порядке убывания или возрастания). Разбиение вариантов на отдельные интервалы наз-я группировкой данных. Число интервалов м-определяется по формуле Стерджеса м=1+3,322 ; н-число наблюдений. Ширина интервала вычисляется: к=Хмах-Хмин/м. Хмах-наибольшее знач.признака;Хмин-наим. За начало первого интервала рекмендуется брать величину; Хнач.=Хмин-к/2. Числа, показывающие сколько раз встречаются варианты из данного интервала наз-я частотами n_i. Отношение частот к общему числу наблюдений наз-я частостями или отностит.частостями w_i=n_i/n.Частоты и частости наз-я весами. Вариационным рядом наз-яранжированный в порядке возратания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами. Накопленной частотой наз-я количество вариантов со значением признака меньшим х n_i^{накопл.}Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений наз-я накопленной частостью w_i= n_i^{накопл.}/n. Накопленные частоты или частости для каждого интервала находятся последующим суммированием частей или частостей всех предметов- их интервалах,вкл.данный. Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты или частости или накопл.частоты или накопл.частости.Вариац.ряд наз-я дискретным, если любые его варианты отличабтся на постоянную величину. Вариац.ряд наз-я непрерывным или интервальным, если варианты могут отличаться один от другого на сколько угодно малую величину. Полигон-это ломанная соединяющая точки (хi ;mi).В основном его используют для дискретных,вариациоонных рядов. Гистограмма-это ступенчатая фигура из прямоугольников с основаниями равным им интервалом значений признака. k_i=x_i+1-x_i, и высотами равными частотами n_i или частостями w_i. Гистограмму используют для изображения интер-ых вариационных рядов.Если соединить середины верхних оснований прямоугольников, то получим полигон того же распределения. Кумулятивная кривая или кумулята-это кривая накопленных частей или частостей. Для дискретного ряда-это ломанная соединяющая точки ( х _i.; n_i^накопл).Для интервального ряда ломанная начинается с точки абсцисса которая равна началу первого интервала, а ордината 0. Др.точки этой ломанной соответствуют концам интервалов. Имперической ф-ей распред.F_n(х) наз-ют отности.частота или частость того, что признак примет значение меньше заданного х. F_n(х)=W(Х<х)=w_x^{накопл.}.Вариационный ряд является стат-им аналогом распределения признака (СВХ).В этом смысле полигон или гистограмма аналогичны кривой распределения, а империческая ф-я распред.аналогична ф-ю распред.СВХ.