3. Методы вычисления определителей

Число можно рассматривать как определитель первого порядка. Определитель второго порядка можно вычислять по правилу:

Существует несколько правил вычисления определителей третьего порядка.

Правило треугольника:

Схематически изображается следующим образом

Правило Саррюса заключается в том, что приписывают первую и вторую строчки снизу определителя:

Проводят главную диагональ и две линии ей параллельные. Проводят побочную диагональ и две линии ей параллельные. Перемножают числа, стоящие на каждой из трех первых линий, и домножают каждое такое произведение на +1. Произведение чисел, стоящих на побочной диагонали или линии ей параллельной, домножают на -1. Сумма полученных шести слагаемых и есть определитель третьего порядка.

Разложение по первой строке:

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ. Матрица, у которой все элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, называется “треугольной”. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Действительно, все произведения такого определителя равны нулю, так как содержат множитель ноль, кроме одного слагаемого

Пример. Вычислить определитель матрицы . Имеем

4. Элементарные преобразования матриц

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование.

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

5. Обратная матрица

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одинакового порядка, удовлетворяющие условию

где - единичная матрица того же порядка, то матрица называется обратной по отношению к матрице А и обозначается .

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

где - символ Кронекера.

Таким образом, получаем систему уравнений

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица , найти . Имеем

Таким образом, .

При нахождении обратных матриц больших порядков применяют формулу

,

где - дополнительный минор элемента матрицы .

Пример. Дана матрица , найти . Имеем

;

Таким образом, .

Справедливы следующие свойства обратных матриц:

1. 2) 3)

6. Базисный минор матрицы. Ранг матрицы

Определение. Базисным минором матрицы порядка называется минор порядка , если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. число совпадает с меньшим из чисел или .

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается .

Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Замечание. Равные матрицы и эквивалентные матрицы суть понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов матрицы равно наибольшему числу её линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

  ;

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема. (о базисном миноре) В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и , то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.