1.3 Комплексные числа и действия над ними

1. Определение комплексного числа. Основные понятия, связанные с комплексными числами

Рассмотрим уравнение

. (1.1)

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то среди действительных чисел не существует решения уравнения (1.1).

Расширим множество действительных чисел, присоединив к ним новый элемент - число , являющееся решением уравнения (1.1), т.е.

.

Потребуем, чтобы в это новое числовое множество входили также все элементы, получающиеся в результате операций сложения, вычитания, умножения, деления действительных чисел, числа i и чисел, возникающих при этих операциях, осуществляемых с соблюдением законов ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности ( операции умножения относительно сложения ).

Так как при любом натуральном

то произвольное число z полученного нового множества запишется в виде:

, (1.2)

где и - действительные числа. Число называется комплексным числом, число называется действительной частью комплексного числа z и обозначается ( от фр. ree’l - действительный), а действительное число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от фр. Imaginaire - мнимый, воображаемый). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой (от фр. complexe - комплексный, сложный).Действительное число

(1.3)

называется модулем комплексного числа.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел

Из (1.2) следует, что между комплексными числами и точками координатной плоскости существует взаимно-однозначное соответствие:

Поэтому комплексные числа изображаются точками координатной плоскости или направленными отрезками (векторами) с началом в начале координат и концом в точке . При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа - точками оси ординат.

Угол между положительным направлением оси и вектором , измеряемый против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа и обозначается . Обычно аргумент берется в пределах от 0 до :

.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множество действительных чисел. Так, натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

0

Таким образом, на оси располагаются действительные числа, а на оси – чисто мнимые.