5. Структура общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Если и - два решения системы , то вектор - решение приведенной однородной системы . Так как выражение

задает все решения однородной системы, то для любых двух решений и неоднородной системы справедливо равенство

и, следовательно, равенство

которое определяет любое решение неоднородной системы. Таким образом доказана теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы.

Теорема. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде

где - произвольные константы, а - фундаментальная система решений однородной системы, - некоторое известное (частное) решение неоднородной системы.

6. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений относительно n неизвестных

Суть метода Гаусса состоит в том, что совместную систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (определитель матрицы системы отличен от нуля)

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными преобразованиями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась диагональная матрица

В результате получаем решение системы

7. Алгоритм метода Гаусса

Прямой ход.

Рассмотрим расширенную матрицу системы

1-й шаг. Предположим, что Если это не так, и переставим строки матрицы так, чтобы Это всегда возможно, т.к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна. Элемент называется ведущим элементом.

Умножим первую строку на число и прибавим ко второй строке, затем умножим первую строку на число и прибавим к третьей строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i-й строке, для

Получим на первом шаге

2-й шаг. Предположим, что Если это не так, и переставим строки матрицы так, чтобы Ведущий элемент - Умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке, затем умножим вторую строку на число и прибавим к четвертой строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем вторую строку на число и прибавляем к i-й строке, для

Получим на втором шаге

k-й шаг. Предположим, что Если это не так, и переставим строки матрицы так, чтобы Ведущий элемент - Умножим k-ю строку на число и прибавим к i-й строке, для Выполнив -й шаг получим

Прямой ход закончен. Заметим, что все элементы на главной диагонали отличны от нуля.

Обратный ход

1-й шаг. Умножим последнюю строку на число и прибавим к предпоследней строке, затем умножим последнюю строку на число и прибавим к -й строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем последнюю строку на число и прибавляем к -й строке, для . Получим на первом шаге

k-й шаг. Умножим k-ю строку на число и прибавим к i-й строке, для Выполнив -й шаг получим:

Обратный ход закончен. Решение вычисляем по формулам