1.2 Системы алгебраических уравнений

1. Решение системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения - несовместной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде

, где - матрица системы, - правая часть, - искомое решение, - расширенная матрица системы:

.

Если правая часть системы равна нулю, то система называется однородной.

Для системы однородная система называется приведенной однородной системой.

2. Свойства решений систем линейных алгебраических уравнений

Используя свойства линейных операций с матрицами, можно доказать, справедливость следующих утверждений.

1. Если и - два решения системы , то при любых и вектор - решение системы.

2. Если и - два решения системы , то вектор - решение приведенной однородной системы .

3. Если решение системы , а - решение системы , то вектор - решение системы .

3. Необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений

На вопрос о совместности системы линейных алгебраических уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема (Кронекер-Капелли). Для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение - нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди этих решений есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной. При для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

Теорема. Для того чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

Запишем однородную систему в виде линейной комбинации столбцов:

Заметим, что в силу свойств решений линейной однородной системы ее решения образуют линейное подпространство в . Если система нетривиально совместна, ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n, то по теореме о базисном миноре матрица имеет r линейно независимых базисных столбцов, а остальные линейно выражаются через базисные

Подставим полученные выражения в равенство

и приведём подобные слагаемые

В силу линейной независимости базисных столбцов получим

Откуда следует равенство

Полученное выражение даёт общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

4. Структура общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений

Ранее было получено выражение для общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений

Положим Тогда вектор

определяет решение исследуемой однородной системы. Аналогично определим

Теорема. Система из решений однородной системы линейно независима и что любое решение системы линейно выражается через векторы системы.

Из теоремы следует, что размерность подпространства решений линейной однородной системы равна .

Определение. Система из линейно независимых решений линейной однородной системы называется фундаментальной системой решений.

Фундаментальная система решений образует базис в подпространстве решений линейной однородной системы.

Определение. Общим решением линейной системы называется выражение, позволяющее вычислить все решения системы.

Таким образом, обобщив доказанные выше утверждения, можно сформулировать теорему о структуре общего решения линейной однородной системы.

Теорема. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде

где - произвольные константы, а - фундаментальная система решений.