1. Точечные оценки

а) для старой технологии:

выборочное среднее арифметическое

;

выборочная дисперсия

;

среднеквадратическое (стандартное) отклонение

;

б) для новой технологии:

выборочное среднее арифметическое

;

выборочная дисперсия

;

среднеквадратическое (стандартное) отклонение

.

4.1.2. Интервальные оценки

а) для старой технологии генеральная дисперсия известна, поэтому для построения доверительного интервала для математического ожидания m_с используем нормальное нормированное распределение, выбрав из табл. П2 значение квантили для уровня значимости 0.975 - z_0.975=1.96. Тогда

; ;

.

Строить интервальную оценку для дисперсии для старой технологии не имеет смысла, так как известно точное численное значение генерального среднеквадратического отклонения s=0.18 , а следовательно, можно рассчитать точное значение генеральной дисперсии s²=0,0324.

б) для новой технологии генеральная дисперсия неизвестна, поэтому для построения доверительного интервала для математического ожидания m_н используем распределение Стьюдента. Для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы n=N-1=10-1=9 табличное значение квантили составит (см. табл. П6) . Тогда ;

; .

Для дисперсии:

; ;

.

Вывод: Для старой технологии среднее значение диаметра проволоки составляло 5.78 мм при стандартном отклонении 0.26. Для новой технологии эти показатели имеют значения 5.47 и 0.19. Можно сделать предварительное заключение (статистическая значимость которого будет оценена ниже) о преимуществах новой технологии по сравнению со старой с точек зрения возможности получения катанки меньшего диаметра ( ) и повышения ее точности ( )

4.2. Расчет числа измерений, которые необходимо произвести для того, чтобы оценить математическое ожидание диаметра проволоки с точностью 0.1 мм и стандартное отклонение с точностью 0.5

4.2.1. Необходимое число измерений для оценки математического

ожидания с точностью 0.1 мм

а) Для старой технологии известно генеральное среднеквадратическое отклонение, поэтому для расчета необходимого количества измерений можно воспользоваться нормированным нормальным распределением (табл. П2) и выражением, полученным из уравнения для расчета интервальной оценки математического ожиданиям . Подставив L=2×0.1=0.2, =0.18 и z_(1-/2)=z_0.975=1.96, получим измерений.

а) Для новой технологии известно только выборочное среднеквадратическое отклонение, поэтому для расчета необходимого количества измерений следует воспользоваться распределением Стьюдента (табл. П6) и выражением, полученным из уравнения для соответствующего случая расчета интервальной оценки математического ожидания . Подставив L=2×0.1=0.2 и s=0.19, получим . Так как значения квантилей распределения Стьюдента зависят от количества измерений, то решение этого уравнения может быть получено численным методом.

Примем в качестве начального приближения 11 измерений. Будем округлять результаты вычислений до ближайшего целого в большую сторону.

При N=11 t_,N-1=2.228, N’=3.62×2.228²»18;

При N=18 t_,N-1=2.110, N’»17;

При N=17 t_,N-1=2.120, N’»17.

Так как принятое значение N=17 и рассчитанное N’ совпали, то расчет закончен.