Глава 21

Решение задач анализа экономических

Зависимостей и линейной оптимизации

С применением пакета ms Excel

Анализ экономических зависимостей

В практике экономических исследований не всегда уда­ется воспользоваться аналитическими зависимостями для анализа данных. Как правило, экономические данные пред­ставляются в табличном виде. Поэтому одной из наиболее распространенных задач является задача аналитического описания экспериментальных зависимостей, при решении которой используются процедуры оптимизации.

Аппроксимация экспериментальных данных

Аппроксимацией называется подбор аналитической формулы у = f(x) для установленной из опыта функцио­нальной зависимости

Аппроксимируемая функция у может зависеть от одной или от нескольких переменных. Рассмотрим оба случая.

Одна независимая переменная. В простейшем случае задача аппроксимации для функции одной переменной выглядит следующим образом.

Пусть имеются данные, полученные в ходе эксперимен­та или наблюдений, которые можно представить в виде таблицы значений (х, у).

х			…
у			…

На основе этих данных требуется подобрать такую фун­кцию у=f(x), которая с точки зрения некоторого крите­рия оптимальности наилучшим образом описывала бы экспериментальную зависимость.

Обычно задача аппроксимации распадается на две час­ти. Сначала устанавливают вид зависимости у=f(x) и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть ре­шают, является ли она линейной, квадратичной, лога­рифмической или какой-либо другой. После этого опреде­ляются численные значения неизвестных параметров вы­бранной эмпирической формулы, для которых приближе­ние к заданной функции оказывается наилучшим.

Для сглаживания экспериментальных зависимостей , заданных таблично, в MS Excel [11,39,40] используются различные функции у = f(x):

- линейная;

- полиномиальная;

- логарифмическая;

- степенная;

- экспоненциальная.

Параметры аппроксимирующей функции подбираются так, чтобы выполнялось условие минимума среднеквадра­тичных отклонений (критерий оптимальности):

где - экспериментальные точки (i= 1...n).

Степень точности аппроксимации экспериментальных данных в MS Excel оценивается коэффициентом детерми­нации (R²). Чем ближе этот коэффициент к значению 1, тем точнее приближение. При правильном выполнении процедуры аппрок­симации полученная аналитическая зависимость позволяет вычислять значения функции в дополнительных точках. Для этого в ячейку листа MS Excel необходимо занести полученную в результате аппроксимации формулу со ссылкой на ячейку с независимой переменной.

В тех случаях, когда аппроксимируемая переменная у зависит от несколь­ких независимых переменных

используются следующие специальные функции Excel:

- ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦ для аппроксимации линейных функций вида ;

- ЛГРФПРИБЛ и РОСТ для аппроксимации показатель­ных функций вида

Функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ имеют одинаковые параметры:

• множество наблюдаемых значений у;

• множество наблюдаемых значений ;

• логическое значение, которое указывает, равна ли 0 константа а₀;

• логическое значение (статистика), которое указывает, нужна ли дополнительная статистика по регрессии.

Функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ позволяют находить точки, лежащие на аппроксимирующих кривых и соответ­ственно.

Обе функции имеют одинаковые аргументы:

- множество известных значений у;

- множество известных значений х;

- новые значения х (строка или столбец новых значе­ний для каждой независимой переменной ;

- логическое значение для константы (равна нулю или нет).

Нахождение экстремального значения функции

Ранее мы рассмотрели, как можно получить аналитическую зависимость, имея табличные данные. Аналитический вид функции существенно расши­ряет возможности для анализа экономических зависимос­тей, в частности, позволяет находить экстремальные зна­чения функций.

Большинство практических задач, так или иначе, связа­ны с поиском минимума или максимума некоторой функ­ции. Например, требуется найти минимум затрат или мак­симум прибыли в зависимости от одного или нескольких параметров. Такие задачи сводятся к решению уравнений вида:

f(x)=0.

Нахождение корней таких уравнений, как правило, пред­ставляет достаточно сложную задачу. Часто результат может быть получен только численными методами, кото­рые дают приближенные решения.

В MS Excel для решения таких уравнений используется удобный инструмент Подбор параметра, который реали­зует алгоритм численного решения уравнения, зависяще­го от одной переменной.

Модели линейной оптимизации

Исследование операций.

В экономике наиболее характерными ситуациями при­нятия решений в условиях полной определенности, для анализа которых используются методы исследования опе­раций, являются такие как:

• организация процессов производства товаров и услуг;

• организация и планирование систем массового обслуживания;

• организация транспортных перевозок;

• управление производством и оптовыми складами;

• управление проектами;

• выбор инвестиционных проектов;

• составление расписания работ.

Это далеко не полный список возможных приложений в экономике методов исследования операций.

Сформулируем общую постановку задач исследования операций: из ряда возможных вариантов найти решение проблемной ситуации, которое является наилучшим с точки зрения некоторого критерия (или системы критериев), учитывая при этом ограничения на выполняемые действия (операции).

Для решения таких задач в исследовании операций ис­пользуются методы из следующих основных разделов.

• Линейное и нелинейное программирование.

• Динамическое программирование.

• Марковские случайные процессы.

• Теория массового обслуживания.

• Статистическое моделирование случайных процессов.

• Игровые методы обоснования решений.

В настоящий момент в связи с бурным внедрением ме­тодов исследования операций в практику интенсивно раз­рабатываются программные продукты, предназначенные для численного решения задач исследования операций. К ним относятся специальные модули пакетов MS Excel и MS Project. Здесь мы продолжим рассмотрение моделей математического программирования, которые могут быть исследованы средствами MS Excel.

Задачи линейного программирования

Математическая постановка экономических задач, связанных с управлением, может быть сформули­рована в общем виде следующим образом [35].

Пусть имеется некоторая целевая функция , которая за­висит от параметров х=( ), удовлетворяющих некоторым ограничениям .

z = z(x,a).

Требуется найти такие значения параметров или функ­ций х=( ), которые обращают величину в мак­симум или минимум (то есть доставляют функции экст­ремум).

Такие задачи — отыскание значений параметров, обеспечивающих экстремум функции при наличии ограниче­ний, наложенных на аргументы, носят общее название за­дач математического программирования и решаются ме­тодами теории исследования операций.

Среди задач математического программирования самы­ми простыми являются задачи линейного программирова­ния (ЗЛП). При этом оптимизируемая целевая функция z= z(x,a) линейно зависит от х=( ) и, кроме того, ограничения, накладываемые на х, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Замечание. В задачах нелинейного программирования це­левая функция и ограничения содержат нелинейные выра­жения. Но здесь такие задачи не будут рас­сматриваться, поскольку очень многие практические задачи такого типа могут быть сведены к задачам линейного про­граммирования, для которых разработано достаточное ко­личество эффективных алгоритмов решений.

Основная задача линейного программирования (ОЗЛП) заключается в нахождении неотрицательных значений переменных удовлетворяющих т условиям-равенствам:

и обращающие в максимум линейную функцию (целевую функцию) этих переменных:

Допустимым решением (планом) ОЗЛП является упо­рядоченное множество значений , удовлетворя­ющее ограничениям, показанным в приведённых равенствах.

Допустимое решение, максимизирующее целевую функ­цию , называется оптимальным решением (опти­мальным планом). Возможны случаи, когда оптимальное решение (если оно существует) является единственным или оптимальных решений бесчисленное множество.

Решение задач линейного программирования в MS Excel

Инструментом для решений задач оптимизации в MS Excel служит надстройка «Поиск решения». Процедура поис­ка решения позволяет найти оптимальное значение фор­мулы, содержащейся в ячейке, которая называется целе­вой. Эта процедура работает с группой ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по формуле, содержащейся в целевой ячейке, заданный результат, процедура изменяет значения во вли­яющих ячейках.

Если данная надстройка установлена, то «Поиск реше­ния» запускается из меню «Сервис». Если такого пункта нет, следует выполнить команду «Сервис — Надстройки...» и вы­ставить флажок против надстройки «Поиск решения».

Решение задачи оптимизации состоит из трёх этапов.

A. Создание модели задачи оптимизации.

B. Поиск решения задачи оптимизации.

C. Анализ найденного решения задачи оптимизации.

Рассмотрим подробнее эти этапы.

Этап А.

На этапе создания модели вводятся обозначения неиз­вестных, на рабочем листе заполняются диапазоны исход­ными данными задачи, вводится формула целевой функ­ции.

Этап В.

Команда «Сервис — Поиск решения» открывает диалоговое окно «Поиск решения», в котором, в свою очередь, имеются следующие поля:

«Установить целевую ячейку» — служит для указания целе­вой ячейки, значение которой необходимо максими­зировать, минимизировать или установить равным за­данному числу. Эта ячейка должна содержать форму­лу.

«Равной» — служит для выбора варианта оптимизации зна­чения целевой ячейки (максимизация, минимизация или подбор заданного числа). Чтобы установить чис­ло, введите его в поле.

«Изменяя ячейки» — служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные огра­ничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле «Установить целевую ячейку».

«Предположить» — используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле «Установить целевую ячейку». Результат поиска отображается в поле «Изменяя ячейки».

«Ограничения» — служит для отображения списка гранич­ных условий поставленной задачи.

«Добавить» — служит для отображения диалогового окна «Добавить ограничение».

«Изменить» — служит для отображения диалоговое окна «Изменить ограничение».

«Удалить» – служит для снятия указанного ограничения.

«Выполнить» – служит для запуска поиска решения по­ставленной задачи.

«Закрыть» — служит для выхода из окна диалога без запус­ка поиска решения поставленной задачи. При этом сохраняются установки сделанные в окнах диалога, появлявшихся после нажатий на кнопки «Парамет­ры, Добавить, Изменить или Удалить».

«Параметры» — служит для отображения диалогового окна «Параметры поиска решения», в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и ука­зать предусмотренные варианты поиска решения.

«Восстановить» — служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска ре­шения, используемых по умолчанию.

Для решения задачи оптимизации выполните следую­щие действия.

1. В меню «Сервис» выберите команду «Поиск решения».

2. В поле «Установить целевую ячейку» введите адрес или имя ячейки, в которой находится формула оптимизируемой модели.

3. Чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение, соответствующее максимальному значению.

Чтобы минимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите пере­ключатель в положение соответствующее минимальному значению.

Чтобы установить значение в целевой ячейке равным некоторому числу путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение значению и введите в соответствующее поле требуемое число.

4. В поле «Изменяя ячейки» введите имена или адреса изменяемых ячеек, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.

Чтобы автоматически найти все ячейки, влияющие на формулу модели, нажмите кнопку «Предположить».

5. В поле «Ограничения» введите все ограничения, накладываемые на поиск решения.

6. Нажмите кнопку «Выполнить».

7. Чтобы сохранить найденное решение, установите переключатель в диалоговом окне Результаты поиска решения в положение «Сохранить найденное решение».

Чтобы восстановить исходные данные, установите пере­ключатель в положение «Восстановить исходные значения».

Этап С.

Для вывода итогового сообщения о результате решения используется диалоговое окно «Результаты поиска реше­ния».

Диалоговое окно «Результаты поиска решения» содер­жит следующие поля:

«Сохранить найденное решение» - служит для сохранения найденного решения во влияющих ячейках модели.

«Восстановить исходные значения» — служит для восста­новления исходных значений влияющих ячеек моде­ли.

«Отчеты» — служит для указания типа отчета, размещаемо­го на отдельном листе книги.

«Результаты» - используется для создания отчета, состоя­щего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.

«Устойчивость» - используется для создания отчета, содер­жащего сведения о чувствительности решения к ма­лым изменениям в формуле (поле «Установить целе­вую ячейку», диалоговое окно «Поиск решения») или в формулах ограничений.

«Ограничения» - используется для создания отчета, состоя­щего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их значений, а также нижних и верхних границ. Такой отчет не создается для моделей, зна­чения в которых ограничены множеством целых чи­сел. Нижним пределом является наименьшее значе­ние, которое может содержать влияющая ячейка, в то время как значения остальных влияющих ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограни­чениям. Соответственно, верхним пределом называ­ется наибольшее значение.

«Сохранить сценарий» — служит для отображения диало­гового окна Сохранение сценария, в котором мож­но сохранить сценарий решения задачи, чтобы ис­пользовать его в дальнейшем с помощью диспетчера сценариев MS Excel.

Одной из возможных задач и моделей линейной оптимизации является задача о планировании производства.

Предприятие должно производить изделия видов: , причем количество каждого выпускаемого изделия не должно превысить спрос и одновременно не должно быть меньше за­планированных величин соответственно. На изготовление изделий идет m видов сырья , за­пасы которых ограничены соответственно величинами Известно, что на изготовление i-ro изделия идет единиц j-го сырья. Прибыль, получаемая от реализации изделий равна соответственно . Требуется так спланировать производство из­делий, чтобы прибыль была максимальной и при этом выполнялся план на производство каждого изделия, но не превышался спрос на него.

Аналитическая математическая модель. Обозначим через ко­личества единиц изделий , выпускаемых пред­приятием. Прибыль, приносимая планом (целевая функ­ция), будет равна:

.

Ограничения на выполнение плана запишется в виде: для . Чтобы не превысить спрос, надо ограничить выпуск изделий: для . И, на­конец, ограничения на сырье запишутся в виде системы неравенств:

при условии, что неотрицательны.

Анализ оптимального решения

Модели оптимизации в реальных задачах могут содер­жать очень много переменных и параметров, которые не­возможно эффективно корректировать без специального исследования. Числовые характеристики модели меняют­ся в зависимости от внешних условий и зачастую доста­точно быстро. В этой связи анализ устойчивости опти­мального плана играет особую роль в организации управ­ления экономическими объектами, принятии решений в критических ситуациях. Оказывается, что существует оп­ределенный интервал устойчивости, в котором изменение целевых коэффициентов не приводит к изменению опти­мального решения. В границах этого интервала можно без риска для прибыли целенаправленно менять значения па­раметров.

Отчет по устойчивости

В процессе поиска оптимального решения MS Excel фор­мирует по желанию пользователя отчеты по результатам, по устойчивости и по пределам. Для вывода отчетов в окне «Результаты поиска решения» следует указать типы нужных отчетов: «Результаты», «Устойчивость» и/или «Пределы». В результате MS Excel создаст дополнитель­ные листы «Отчет по результатам», «Отчет по устойчиво­сти» и «Отчет по пределам», анализируя которые, пользо­ватель может подобрать такие параметры модели, кото­рые наилучшим образом соответствуют эффективной орга­низации производства.

В отчете по устойчивости первая таблица «Изменяе­мые ячейки» содержит информацию о диапазоне измене­ния целевых коэффициентов, в пределах которого опти­мальные значения переменных не меняются. В таблице «Ограничения» отчета об устойчивости уста­новлены границы диапазона для величины ресурсов. При варьировании ограничений на ресурсы в указанном диа­пазоне оптимальный план будет непрерывно изменяться (значение целевой функции также будет меняться), одна­ко при этом будет оставаться неизменной теневая цена ресурса — важнейшая характеристика оптимального ре­шения, которая связана с понятием двойственной зада­чи, которая может быть сформулирована для любой задачи линейного программирования. Независимо от прикладной интерпретации, оптимальные значения целевых функций прямой и двойственной задачи совпадают.

Решение задач нелинейной оптимизации и организации снабжения и управления трудовими ресурсами с применением пакета MS Excel.

Рассмотрим две модели, широко использующиеся в деловой практике: транспортная задача и задача о назначениях. Обе они ре­ализуются в виде ЗЛП, но имеют весьма характерные осо­бенности, которые можно эффективно учитывать при ре­шении таких задач средствами MS Excel.

Транспортная задача

Целью транспортной задачи является минимизация транспортных издержек (или максимизация прибыли) при снабжении грузом нескольких потребителей, если данный груз хранится на удаленных складах.

Постановка задачи.

Пусть требуется развести груз, хранящийся на т скла­дах в количествах соответственно по n пунктам назначения , подавшим заявки на единиц груза. Пусть запас груза на всех скла­дах равен суммарной заявке, то есть:

Известно, что стоимость перевозки единицы груза от i-ro склада к j-му потребителю равна . Требуется составить такой план перевозок, чтобы все заявки были выпол­нены, а стоимость всех перевозок была минимальна.

Аналитическая математическая модель. Пусть — количество гру­за, перевозимого со склада потребителю . Прямоугольную матрицу, составленную из величин , будем называть планом перевозок.

Суммарное количество груза, перевозимое с каждого склада потребителям, должно быть равно запасу на дан­ном складе. То есть:

Суммарное количество груза, доставляемое каждому потребителю со складов, должно быть равно заявке дан­ного потребителя:

Суммарная стоимость всех перевозок должна быть минимальной

В данной аналитической модели суммарные поставки равны общему количеству заказов. Такие задачи называются сбалансированными.

На практике транспорт­ные задачи оказываются гораздо сложнее. Сумма запасов может превышает сумму заказов (излишек запасов) или, наоборот, сумма запасов может быть меньше, чем сумма заказов (дефицит запасов).

В первом случае часть запасов, очевидно, должна ос­таться на складах поставщиков, и дополнительный воп­рос при этом состоит в том, сколько грузов не вывозить (оставить на складе) у каждого поставщика, чтобы сумма транспортных издержек при выполнении заказов потре­бителей была бы минимальной. Для определения места, где останутся излишки в таблицы транспортных издержек и в таблицу перевозок добавляется по одному лишнему столбцу. Это трактуется так, как будто появился ещё один, виртуально-фиктивный потребитель, заказ которого равняется разности между суммой всех запасов и суммой всех заказов

а издержки перевозок грузов к нему от любого поставщика равняются нулю.

Во втором случае, то есть при

предстоит решать, как распределить дефицит между потребителями. Разумеется, в реальности этот случай сложнее для менеджера, отвечающего за до­ставку заказов потребителям. Решение проблемы будет, по-видимому, определяться приоритетом каждого из по­требителей для поставщика или исходом переговоров. Од­нако если предположить, что все потребители имеют оди­наковый рейтинг и проблема состоит только в том, чтобы подешевле развезти весь имеющийся на складах постав­щика товар, то этот второй случай с точки зрения опти­мизации издержек симметричен первому. Добавим в таблицу транспортных издержек и в таблицу перевозок по одной лишней строке, что можно трактовать, как если бы появился ещё один, виртуально-фиктивный, поставщик. Потребуем, чтобы его запас равнялся разности между суммой всех заказов и суммой всех запасов, а издержки перевозок грузов от него к любому поставщику были равны нулю. Решение конкретных задач ждёт Вас на практических занятиях.

Еще одно возможное осложнение транспортной задачи — это запрещение определенной перевозки от i-го поставщи­ка j-му потребителю для составляемого плана перевозок (ремонт дороги, неплатеж и пр.). В этом случае, естественно, можно было бы просто ввести ограничение =0. Однако это означает невозможность использования эффективных «транспортных» алгоритмов решения.

Чтобы сохранить форму транспортной задачи и учесть этот запрет, достаточно в таблице транспортных издер­жек заменить стоимость перевозок на очень большое чис­ло. Это фактически будет означать, что оптимизационный алгоритм наверняка положит соответствующее значение перевозки равным нулю, поскольку перевозка по это­му маршруту просто крайне невыгодна.

В заключение отметим, что транспорт­ные задачи могут быть сформулированы с учетом и других ограничений. Например, ограничений на неделимость груза, грузоподъемность, аренду и др.

Задача о назначениях

Задача о назначениях используется для количественно­го анализа ситуаций, когда требуется назначить рабочих на выполнение различных операций и учесть при этом эффективность выполнения данной операции каждым ра­бочим. Распределение следует осуществить либо по крите­рию эффективности выполнения операций (задача максимизации), либо минимизировать суммарные затраты на выполнение всей работы в целом.

С математической точки зрения задача о назначениях — это частный случай транспортной задачи, в которой чис­ло поставщиков (например, число рабочих, или, иначе, поставщиков рабочей силы) в точности равно числу по­требителей («работ», различных технологических опера­ций). Поэтому таблица «транспортных издержек» (анало­гом которых может выступать любая мера эффективности выполнения той или иной операции данным работником) должна быть квадратной.

Кроме того, в задаче о назначениях от каждого постав­щика к каждому потребителю поставляется только одна единица «груза» (например, только одного рабочего мож­но назначить для выполнения данной работы) или ни од­ной. Поэтому все «запасы» и все «заказы» равны 1.

Понятно, что все переменные решения в задаче о на­значениях могут принимать только значения 1 или 0. На первый взгляд, это похоже на задачи целочисленного ли­нейного программирования. Однако в силу особенностей структуры ограничений транспортной задачи явно требо­вать целочисленность переменных решения (как их ра­венства только нулю или единице) не требуется. Такие значения получаются при решении автоматически.

Пусть требуется назначить п работни­ков для выполнения п типовых операций. Из данных ис­следований эффективности труда известно, насколько эф­фективно каждый работник выполняет конкретную опе­рацию (например, сколько времени ему требуется на ее выполнение или сколько стоит его труд). Как распреде­лить работников по операциям, чтобы суммарные затра­ты рабочего времени были минимальны? Конкретный пример будет рассмотрен Вами на практических занятиях.

В заключение данного учебного вопроса еще раз отметим, что транспорт­ная задача обязательно должна обладать свойством сбалансированности: сумма запасов производителей должна быть равна сумме заказов потребителей. Если это условие в реальности не выполняется, необходимо сбалансировать задачу, а именно:

■ если сумма запасов превышает сумму заказов, в таб­лицы издержек и перевозок нужно ввести лишнюю строку «фиктивного потребителя», который «зака­зывает» весь реальный избыток запасов поставщи­ков. При этом транспортные издержки при перевозке запаса от любого реального поставщика к «фик­тивному потребителю» должны быть равны нулю. Перевозки, «доставленные» к «фиктивному потре­бителю» от каждого поставщика, означают, что эти запасы реально остались на складах поставщиков;

■ если сумма заказов превышает сумму запасов, в таб­лицы издержек и перевозок нужно ввести лишний столбец «фиктивного поставщика», который «пред­лагает» покрыть весь дефицит запасов реальных по­ставщиков. При этом транспортные издержки при перевозке запаса от «фиктивного поставщика» к любому реальному потребителю должны быть равны нулю. Перевозки, «доставленные» от «фиктивного поставщика» каждому реальному потребителю, оз­начают величину недопоставленного запаса этому потребителю.

При решении транспортной задачи с помощью проце­дуры MS-Excel Поиск решения она автоматически выберет специальные эффективные алгоритмы решения и обеспе­чит целочисленность решения (без специального требова­ния целочисленности), если организация данных и введен­ные ограничения соответствуют транспортной задаче.

Задача о назначениях представляет собой частный слу­чай транспортной задачи с числом строк (поставщиков), равным числу столбцов (потребителей). Каждый «постав­щик» (это может быть рабочий) предлагает самого себя одному из «потребителей» (это может быть операция, ста­нок или напарник). Поэтому все «запасы» и «заказы» в задаче о назначениях равны 1.

Задачи нелинейной оптимизации

На примере модели сбыта продукции рассмотрим зада­чу, в которой целевая функция не является линейной. Такие задачи относятся к задачам нелинейного програм­мирования и также могут быть решены с помощью над­стройки Поиск решения MS Excel.

Постановка задачи.

Предприятие реализует выпускае­мую продукцию, сбыт которой носит сезонный характер. В таблице 21.1 коэффициент сезонности сбыта в каждом квартале указан в строке «Сезонность». Себестои­мость единицы продукции составляет 25 руб., а цена, по которой она реализуется, — 40 руб. В каждом квартале затраты на торговый персонал составляют 8 000 руб., а затраты на рекламу — 10 000 руб. Косвенные затраты составляют 15 % от выручки.

Т а б л и ц а 21.1.

Пусть ожидаемое число продаж зависит от коэффи­циента сезонности k и затрат на рекламу r следующим образом:

Требуется определить, как влияет распределение за­трат на рекламу на динамику прибыли от продажи про­дукции.

Решение.

Как видно из формулы для числа продаж, первые 5000 р. затраченные на рекламу в первом квартале, приводят к увеличению числа продаж на 1092 единицы, а следующие 5000 р. — только на 775 единиц. То есть зависимость числа продаж от рекламы не является линейной.

Заполним лист MS Excel, как показано на рисунке и исследуем полученную математическую модель.

Вариант 1. Пусть, например, суммарные расходы на рекламу не должны превышать 40 тыс.руб. Требуется оп­ределить расходы на рекламу для получения наибольшей прибыли в первом квартале. Необходимо добиться наи­большей прибыли, изменяя затраты на рекламу в каждом квартале. Используем стандартный прием для поиска ре­шения поставленной задачи со следующими параметрами оптимизации.

Поиск решения даёт результат, при котором прибыль за 1-й квартал увеличивается со значения 14324 руб. до 15093 руб. при увеличении затрат на рекламу в этом квартале на 7093 руб. по сравнению с исходным значением.

Т а б л и ц а 21.2

В заключение отметим, что изложенный материал позволяет проследить технологию исследования простейших оптимизационных моделей в экономике. Более сложные аналитические модели могут быть построены с использованием таких специализированных пакетов, как Mathcad, MS Project и др.

Контрольные вопросы и задачи

21.1. Поясните назначение процедуры аппроксимации.

21.2. Какова последовательность решения задачи аппроксимации?

21.3. Какие инструменты используются в MS Excel для решения уравнений, с помощью которых осуществляется поиск экстремума?

21.4. Сформулируйте общую постановку задачи исследования операций.

21.5. Какие инструменты используются в MS Excel для решения задач оптимизации?

21.6. В чём заключается анализ оптимального решения?

21.7. Сформулируйте понятие о двойственной задаче.

21.8. Что является целью транспортной задачи?

21.9. В чём суть и для чего используется задача о назначениях?