Глава 4 Материальные носители информации

С технической точки зрения информация представляет собой объект передачи, хранения и преобразования в информационно-вычислительных системах (ИВС). В свою очередь, ИВС есть физическая система (устройство или комплекс устройств), предназначенная для автоматизации процесса алгоритмической обработки информации и вычислений. Физическими носителями информации являются сигналы, которые могут быть детерминированными и случайными, непрерывными и дискретными.

Д етерминированным является сигнал, который может быть задан в виде некоторой определённой функции времени. Примерами детерминированного сигнала являются импульсы и пачки импульсов, форма, величина и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. Детерминированные сигналы подразделяются на периодические и непериодические. Примером простейшего периодического детерминированного сигнала является гармоническое колебание вида

при .

Через А, Т, и обозначены const: амплитуда, период, угловая частота и начальная фаза колебания соответственно.

Так как любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте , то его основной характеристикой является спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник.

Если для детерминированного сигнала не существует конечного отрезка времени Т, отвечающего условию , то такой сигнал признаётся непериодическим.

Случайные сигналы представляют собой случайные функции времени, для характеристики и анализа которых применяется статистический подход. Основными характеристиками случайных сигналов являются закон распределения вероятностей и спектральное распределение мощностей. Первый показатель исчерпывающе характеризует случайный сигнал, а второй позволяет получить распределение средней мощности сигнала по частотам, чего часто оказывается достаточно для анализа.

Дискретным признаётся сигнал, который может принимать лишь одно из конечного числа фиксированных значений (уровней). Для случайного дискретного сигнала каждому значению соответствует своя вероятность его осуществления. Такая таблица соответствия называется рядом распределения. Так как сигнал должен принять одно из возможных значений, то сумма вероятностей осуществления всех возможных событий

.

Непрерывным считается сигнал, который может принимать любое значение в интервале уровней. Для непрерывного случайного сигнала s вероятность того, что он примет определённое значение, бесконечно мала. В этом смысле целесообразно говорить о вероятности попадания s в какой-либо конечный интервал . Эта, так называемая «интегральная» вероятность определяется следующим образом

.

Функция характеризует «дифференциальный» закон распределения вероятностей. Её ещё называют «плотностью вероятностей» непрерывной случайной величины s. При любом непрерывном распределении должно выполнять равенство

,

где и - соответственно нижняя и верхняя границы возможных значений s.

Для оценки информационной ёмкости сигнала должна быть установлена связь между параметрами сигнала и количеством информации, которое с помощью этого сигнала может быть передано. Информация содержится в сообщении, связанным с некоторым событием и является его описанием. Любое событие заключается в изменении во времени или в пространстве состояния объекта или процесса. Тогда сообщение является указанием на то, в каком состоянии находится объект или процесс. Пусть по каналу связи передаётся сообщение о событии, априорная вероятность которого равняется . После приёма сообщения апостериорная вероятность этого события для получателя становится равной . Прирост количества информации, связанный с приёмом сообщения принято обозначать через

.

Выбор логарифмической функции для количественной оценки прироста информации даёт ряд преимуществ, главное из которых заключается в свойстве аддитивности: при передаче сообщений о независимых событиях полная информация оказывается равной сумме информаций, содержащихся в отдельных сообщениях. После неискажённого приёма сообщения вероятность обращается в единицу и последнее выражение становится равным

.

Таким образом, количество информации, содержащееся в передаваемом сообщении, зависит от вероятности . Чем она меньше, т.е. чем больше неопределённость исхода, тем большая информация о нём получается в результате приёма сообщения. Если речь идёт о событии, имеющем два равновероятных исхода (например, бросание монеты), то =0,5 и последнее выражение будет равно

.

Численное значение I зависит от основания логарифма. Если в качестве последнего выбрать 2, то окончательно получим

.

Определённая таким образом единица количества информации, соответствующая сообщению о том, что произошло одно из двух равновероятных событий, называется двоичной единицей информации или битом. Если одному из событий присвоить единичное значение, а второму – нулевое, получим двоичный алфавит.

Если с помощью этих двух символов, объединённых в позиционные коды, отображаются любые возможные сообщения, то речь идёт о цифровой двоичной форме представления информации и, соответственно, о цифровой схемотехнике.

В случае если эти же символы составляют так называемые вероятностные отображения любого сообщения, то речь идёт о вероятностной двоичной форме представления информации [13] и, соответственно, о вероятностной схемотехнике.

Первая форма представления дискретной информации сегодня везде: в компьютерной технике, микропроцессорных системах управления и автоматики, в бытовой технике и т.д., вторая известна значительно меньше, хотя имеет значительные перспективы развития в целом ряде отраслей современной информационной техники.

Представление дискретных сигналов в цифровой двоичной форме

Сегодняшний компьютер, микропроцессорная система управления или автоматики работают с информацией, представленной в цифровой двоичной форме. Минимальным информационным элементом является бит, принимающий значения 0 или 1. Биты организуются в более крупные кодовые комбинации: тетрады, байты, слова, т.е. 4-х, 8-и, 8хn – разрядные позиционные коды. С их помощью оказывается возможным закодировать любой необходимый для обработки символ. При обмене данными передается, как правило, символь­ная информация (буквы, цифры и другие знаки). Символы кодируются груп­пой битов, число которых обычно лежит в пределах от 5 до 8. Если разряд­ность группы 5, то непосредственно можно отображать до 2 =32 различных символов. Такую разрядность имеет телеграфный код, в котором, однако, за счет дополнительных признаков принадлежности кода к той или иной реги­стровой группе число воспроизводимых символов расширено до 78.

Международное признание получил американский стандартный код обмена информацией ASCII (American Standard Code for Information Interchange), в котором символы кодируются 7 двоичными разрядами. Этот код позволяет передавать цифры, прописные и строчные буквы латинского алфавита, це­лый ряд других символов (всего 96 символов, т. к. 32 кодовые комбинации выделены для представления команд обмена). На основе этого кода постро­ен отечественный код КОИ-7 (код обмена информацией семиразрядный). Применяется также восьмиразрядный код ДКОИ-8. Внутри цифрового компьютера числа передаются в виде параллельных или последовательных позиционных кодов.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места в числе (позиции), например 7382. Здесь первая цифра означает количество тысяч, вторая - количество сотен, третья - количество десятков и четвертая – количество единиц. Эти позиции называются разрядами числа. Для позиционной системы счисления справедливо равенство

где - произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q;

n+1, m – количество целых и дробных разрядов соответственно.

Каждая цифра в записанной последовательности может принимать одно из некоторого количества символов, используемых для изображения числа. Основание (базис) позиционной системы счисления - количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления, оно и определяет название системы.

Вызванная к жизни не чем иным, как десятью пальцами пары человеческих рук, десятичная система использует 10 цифр

а ₍₁₀₎= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

В цифровой технике используются только позиционные системы счисления. Наиболее распространены комбинированные (кодированные) – двоично-десятичная, двоично-восьмеричная, двоично-шестнадцатеричная и двоичная. В таблице 4.1 представлены эквиваленты десятичных цифр в указанных системах счисления.

Т а б л и ц а 4.1

Десятичная цифра	Эквиваленты в системах счисления			Десятичная цифра	Эквиваленты в системах счисления
	Q=2	Q=8	Q=16		Q=2	Q=8	Q=16
0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7	0 1 2 3 4 5 6 7	8 9 10 11 12 13 14 15	1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	10 11 12 13 14 15 16 17	8 9 A B C D E F

В системе счисления с q = 2 для записи чисел используются цифры 0 и 1.

В системе счисления с q = 8 используют цифры 0 - 7.

В системе счисления с q = 16 обычно применяют следующие цифры и буквы: 0..9,A,B,C,D,E,F. Здесь A,B,C,D,E,F обозначают соответственно цифры 10,11,12,13,14,15.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод любого смешанного (т.е. содержащего целую и дробную часть) числа из одной системы счисления в другую может быть выполнен по универсальному алгоритму, состоящему из двух частей:

- последовательного деления целой части и образующихся целых частных на основание новой системы счисления;

- последовательного умножения дробной части и дробных частей получающихся произведений на основание новой системы счисления.

При переводе целой части числа в ходе процесса последовательного деления получаются остатки, которые представляют собой цифры целой части числа в новой системе счисления. Последний остаток является старшим разрядом переведенного числа.

При переводе дробной части числа при каждом умножении получаются целые части, которые исключаются из последующих умножений, и представляют собой цифры дробной части числа, переведенной в новую систему счисления. Значение первой целой части является первой цифрой после запятой переведенного числа.

Пример 4.1. Перевести число 356,1875₁₀ в восьмеричную систему счисления.

Перевод целой части Перевод дробной части

Пример 4.2. Перевести число 30,6₁₀ в двоичную систему счисления. Дробную часть переводить до четвертого знака после запятой.

Согласно универсальному алгоритму перевода чисел из одной системы счисления в другую переводим отдельно целую и дробную части числа:

Перевод целой части Перевод дробной части

 

Результат 30,6₁₀ = 1110,1001_2.

Пример 4.3. Перевести десятичное число 691,15 в шестнадцатеричную систему счисления.

Перевод целой части Перевод дробной части

Результат 691,15₁₀ = 2B3,2666…_16.

При переводе целой части на втором шаге в остатке от деления получилось число 11, которое в символах шестнадцатеричного набора (см. табл.4.1) записывается как B.

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную удобно воспользоваться развернутой формулой его записи. Такой метод получил название метода непосредственного замещения.

Пример 4.4. Перевести двоичное число 100101,011 в десятичную систему счисления.

Представим данное число как сумму степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:

100101,011 ₂ = 1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+1*2^-3 =

= 32+4+1+0,25+0,125 = 37,375 ₁₀.

Пример 4.5. Перевести восьмеричное число 703,04₈ в десятичную систему счисления.

Представим число в виде полинома с основанием 8:

703,04₈ = 7*8²+0*8¹+3*8⁰+0*8^-1+4*8^-2 = 7*64+3+0,25 = 451,0625 ₁₀.

Пример 4.6. Перевести шестнадцатеричное число B2E,4₁₆ в десятичную систему счисления.

Воспользуемся методом непосредственного замещения. Символы шестнадцатеричного алфавита, которые отсутствуют в десятичной системе счисления заменим на соответствующие им числа (см.табл.1):

B2E,4 ₁₆ = 11*16²+2*16¹+14*16⁰+4*16^-1 = 2862,0625₁₀.

Выбор восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления объясняется тем, что основания 8 и 16 есть целые степени числа 2, т.е. 8 = 2³  и 16 = 2⁴, благодаря чему перевод чисел из этих систем счисления в двоичную весьма прост. Достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующей ему (см. табл. 4.1) двоичной триадой (группой из трех двоичных цифр), а каждую цифру шестнадцатеричного - тетрадой (группой из четырёх двоичных цифр).

Для обратного перехода поступают следующим образом: двигаясь от точки, разделяющей целую и дробную часть, влево и вправо разбивают двоичное число на триады (тетрады), а затем заменяют их соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример 4.7. Перевести восьмеричное число 453,21 в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления.

Т ак как основание искомой системы счисления есть целая степень числа 2 (8=2³), заменим каждую восьмеричную цифру соответствующей ей двоичной триадой:

 

453,21 ₈ = 100 101 011,010 001 ₂

Для перевода в шестнадцатеричную систему этого числа, следуя от точки влево и вправо, разобьем его на тетрады и каждую тетраду заменим соответствующей шестнадцатеричной цифрой. В случае неполной тетрады можно дополнить число с краев нулями, что не изменит его значения:

 

0001 0010 1011, 0100 0100₂ = 12B,44₁₆

От того, какая система счисления будет использована в УОДИ, зависят скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических и логических операций. В подавляющем большинстве случаев в ЭВМ применяют двоичную систему счисления, так как для представления в компьютере разряда двоичного числа может быть взят любой простой элемент, имеющий два надежно различимых устойчивых состояния, которые фиксируются напряжениями различного уровня, наличием или отсутствием импульса тока и т.п. Другим важным достоинством двоичной системы является простота двоичной арифметики. Недостатком двоичной системы счисления является громоздкая запись чисел. Для упрощения записи используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Арифметические операции над двоичными числами

Над двоичными числами можно выполнять те же арифметические операции, что и с обычными числами, но в соответствии со следующими правилами двоичной арифметики:

сложение	вычитание	умножение
0 + 0 = 0	0 - 0 = 0	0 * 0 = 0
0 + 1 = 1	1 - 0 = 1	0 * 1 = 0
1 + 0 = 1	1 - 1 = 0	1 * 0 = 0
1 + 1 = 10	10 - 1 = 1	1 * 1 = 1

Сложение чисел независимо от системы счисления выполняется поразрядно, начиная с младшего. Если при сложении цифр одного разряда сумма равна основанию системы счисления, образуется единица переноса в соседний старший разряд, а в разряде суммы записывается нуль. В случае сложения двух единиц разряда с единицей переноса из младшего разряда, образуется единица переноса в старший разряд, а в разряде суммы записывается единица.

Действия двоичной арифметики можно проверить, если перевести все операнды (слагаемые и сумму и т.д.) в десятичную систему счисления.

При вычитании в данном разряде из нуля необходимо занять единицу из соседнего старшего разряда, которая равна двум единицам данного разряда.

Пример 4.9. Найти разность A-B, где A=1011,001₂ ; B=1001,101 ₂ .

Запишем исходные числа в столбик.

Разряд переноса 1 1 11

Уменьшаемое Проверка

Вычитаемое

Разность

Умножение двоичных многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. В соответствии с таблицей двоичного умножения каждое частичное произведение равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит ноль, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит единица. Таким образом, операция умножения многоразрядных чисел сводится к операциям сдвига и сложения. Положение запятой определяется также, как при умножении десятичных чисел.

Пример 4.10. Умножить 1011,1₂*101,01 ₂

Результат 1011,1 ₂ *101,01 ₂ = 111100,011 ₂ .

Проверка 11,5 ₁₀ *5,25 ₁₀  = 60,375 ₁₀ .

 

Деление чисел производится по правилам умножения и вычитания, как и в десятичной системе счисления. Особенности выполнения деления двоичных чисел поясняются примером:

Пример 4.11. Найти частное от деления А на В, где А = 100011,11₂, В=110,1₂.

1000111,1| 1101

1101 101,1

10011

1101

11 01

11 01

0

Проверка

35,75₁₀:6,5₁₀=5,5 ₁₀

Деление начинается с того, что в делимом и делителе запятая переносится вправо на одинаковое количество разрядов так, чтобы делитель стал целым числом. Затем от делимого слева отделяется минимальная группа разрядов, которая, рассматриваемая как число, превышает или равна делителю. Дальнейшие действия выполняются по обычным правилам, причем последняя цифра частного получается тогда, когда все цифры делимого исчерпаны, либо когда достигнута заданная точность.

Представление чисел в ЭЦВМ

Для представления двоичных чисел в цифровых ЭВМ используются две формы: с фиксированной запятой и с плавающей запятой.

При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой в разрядной сетке строго фиксируется, устанавливается определённое количество разрядов для целой и дробной частей числа и сохраняется неизменным на время вычисления для всех чисел. В большинстве случаев, машины оперируют с числами, по модулю меньше единицы. Положение запятой в этом случае фиксируется перед старшим разрядом числа. Для кодирования знака числа используется знаковый разряд, причём для ‘+’ ставится нуль, а для ‘-’ – единица. На рис. 4.1 приведена разрядная сетка, предназначенная для размещения чисел с фиксированной запятой.

Разряд знака

2-1

2-2

2-3

…

2-n

Рис.4.1. Разрядная сетка, предназначенная для размещения чисел

с фиксированной запятой

Знак мантиссы

2-1

2-2

…

2-n

Знак порядка

2p

2p-1

…

20

Рис. 4.2. Разрядная сетка, предназначенная для размещения чисел

с плавающей запятой

Количество разрядов n определяет диапазон и точность представления чисел. Максимальное по абсолютной величине число изображается единицами во всех разрядах

C помощью n разрядов числа и знакового разряда можно изобразить:

• отрицательные числа в диапазоне от –(1-2^-n ) до –2^-n;

• число нуль;

• положительные числа в диапазоне от 2^-n до (1-2^-n ).

Для того чтобы изобразить число, равное или превышающее по абсолютной величине единицу, необходимо вводить масштабный коэффициент k. Так, если , где – изображение числа М.

Подбор масштабных коэффициентов затрудняет подготовку задач для решения на машинах с фиксированной запятой.

Числа, меньшие, чем 2^-n, не могут быть представлены в машине и называется машинным нулём.

Машинный нуль для повышения точности вычислений округляется. Точность изображения числа М оценивается с помощью абсолютной и относительной погрешностей. Абсолютная погрешность не может превышать по величине единицы n+1 разряда:

относительная погрешность, как известно, есть отношение абсолютной погрешности к величине числа М, то есть

Для малых чисел величина может быть неприемлемой. Этого недостатка лишена вторая форма представления – нормальная.

В машине с плавающей запятой число в общем случае представляется в виде

,

где m – мантисса числа;

r – основание системы счисления;

p – порядок числа.

Для двоичной системы . Порядок и мантисса могут быть как положительными, так и отрицательными, т.е. . Для обозначения знака порядка и знака мантиссы в разрядной сетке машины отводятся специальные знаковые разряды, как показано на рис. 4.1 и 4.2.

Машины с плавающей запятой оперируют с нормализованными числами.

Число называется нормализованным, если в старшем (первом после запятой) разряде мантиссы стоит единица, и ненормализованным, если стоит нуль.

При нормализации числа мантисса сдвигается влево на число разрядов, равное числу нулей до первой значащей цифры, и порядок числа уменьшается на количество сдвигов. В младшие разряды мантиссы записываются нули. Количество разрядов, отведённое под порядок числа, должно быть достаточным для обеспечения нормализации числа, представленного единицей младшего разряда мантиссы.

Пример 4.12. Нормализовать число

А = -0,0000101*10⁺¹¹⁰

Для его нормализации необходимо сдвинуть мантиссу влево на 4 разряда, а порядок уменьшить на 4 единицы. В нормализованном виде число примет вид

А = -0,1010000*10⁺⁰¹⁰

Количество разрядов сетки, отведённое для мантиссы, характеризует точность выполнения арифметических операций, количество разрядов сетки, отведённое для порядка, - диапазон представляемых чисел. Максимальное по модулю машинное число.

минимальное по модулю машинное число

и, следовательно, диапазон чисел определится границами

Как и в машинах с фиксированной запятой, выход за пределы верхней границы приводит к переполнению разрядной сетки, а выход за пределы нижней границы приводит к появлению машинного нуля, записываемого в виде всех нулей в разрядах мантиссы и порядка.

Абсолютная ошибка при округлении в младшем разряде

так как значения мантиссы лежат

то минимальная и максимальная относительные погрешности

при больших n ;

и

т.е. не зависит от порядка числа, а точность представления и больших и малых чисел примерно одинакова.

Таким образом, нормальная форма представления чисел сравнительно с естественной имеет то преимущество, что при ней выше диапазон машинных чисел и точность их записи, однако представление чисел в естественной форме позволяет упростить схему машины и получить более высокое быстродействие.

Контрольные вопросы и задачи

1. Дайте определение непериодического сигнала.

4.2. Назовите основные характеристики случайных сигналов.

3. Постройте ряд распределения для вероятностей выпадения очков на гранях шестигранного игрального кубика.

4. Поясните выбор логарифмической функции для количественной оценки прироста информации.

4.5. Переведите целое десятичное число 189 в двоичную систему счисления.

4.6. Переведите десятичную дробь 0,625 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную системы счисления.

4.7. Определите в двоичном коде сумму чисел 9,5 и 12,25 и проверьте правильность выполнения операции путём перевода двоичной суммы в десятичную систему счисления.

4.8. Определите в двоичном коде разность (25,75-17,25).

4.9. Найдите произведение двоичных чисел 11011*101 и 101,01*10,11 и проверьте правильность выполнения операции умножения путём перевода двоичного числа в десятичную систему счисления.

4.10. При нормальной форме представления операндов количество разрядов, отведённое для мантиссы характеризует _____, а количество разрядов, отведённое для порядка характеризует ______.