2.2. Метод подстановки

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой подход называется методом подстановки или методом замены переменной.

Теорема 1.2. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке и пусть – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве функция имеет первообразную, то на множестве справедлива формула

. (2.1)

Формула (2.1) – формула замены переменной в неопределённом интеграле.

2.3. Метод интегрирования по частям

Теорема 1.3. Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке функция также имеет первообразную и справедлива формула

. (2.2)

Формула (2.2) – формула интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

Т.к. , то формулу (2.2) можно переписать в виде (2.2').

Применять формулу (2.2) целесообразно, когда интеграл в правой части более прост для нахождения, нежели исходный. Рассмотрим два класса функций , которые целесообразно интегрировать по частям, и укажем, что в этих случаях при представлении подынтегрального выражения в виде произведения следует принять за , а что за . Ниже через обозначен многочлен.

I.

II.

.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 и табличными интегралами (5), (2), (3), (9). Получим:

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Возведём в квадрат подынтегральную функцию, проведём тригонометрические преобразования, применим свойство 4 и табличные интегралы (2),(5)

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Применив тождественные преобразования, свойство 4 и табличные интегралы (2), (10), получим:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Введём переменную , . Тогда . Используем формулу (2.1)

.

При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно заменять не как функцию , а наоборот, задавать как функцию от .

Пример5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда . Используя формулу (2.1) и табличный интеграл (3), получим:

.

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. Применим известное тригонометрическое тождество, далее положим . Тогда . Используя табличный интеграл (2), имеем:

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда и по формуле интегрирования по частям получим:

, где .

Пример 8. Вычислить интеграл .

Решение. Положим Тогда и по формуле интегрирования по частям получим:

.

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда и по формуле интегрирования по частям получим:

.

В некоторых случаях формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз.

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда , по формуле интегрирования по частям имеем: . Далее, пусть . Тогда , ещё раз применив формулу интегрирования по частям, имеем:

.