Примеры решения типовых задач

Пример 1. . Установить при каких значениях этот интеграл сходится, а при каких расходится.

Решение. Пусть . Тогда .

Итак, . Следовательно, если , то (т.к. при ), т.е. интеграл сходится; если , то (т.к. при ), т.е. интеграл расходится.

При , т.е. интеграл расходится.

Пример 2. Доказать, что сходится.

Решение. Известно, что при . Тогда – сходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Функция терпит разрыв в точке . Очевидно, что при , тогда

. Итак, интеграл сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при , следовательно, по определению:

. Интеграл сходится.

Пример 5. Найти условия сходимости и расходимости несобственных интегралов .

Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при .

Пусть .

Тогда и если , то ; если , то .

Пусть . Тогда

.

Итак, данный интеграл сходится при и расходится при .

Задания для самостоятельной работы

 10. Исследовать на сходимость интегралы.

;	;
;	;
;	;
;	;
	.

7. Приложения определённого интеграла

7.1. Площадь криволинейной трапеции

7.1.1. Площадь криволинейной трапеции в декартовых координатах

Н ами было установлено, что геометрический смысл определённого интеграла – площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и графиком функции . Таким образом, если функция неотрицательна на отрезке , то площадь под кривой на (рис. 4) численно равна определенному интегралу от на данном отрезке:

. (7.1)

Е сли функция неположительна на отрезке , то площадь над кривой на (рис. 5) численно равна определенному интегралу от на данном отрезке, взятому со знаком «минус»:

. (7.2)

Если на отрезке , то фигуры, заключенной между кривыми и на этом отрезке (рис.6) вычисляется по формуле

. (7.3)

Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограничена непрерывной кривой , прямыми , и осью (рис. 7), то ее площадь вычисляется по формуле

. (7.4)

7.1.2. Площадь криволинейной трапеции в случае параметрического задания граничной кривой

Для вычисления площади криволинейной трапеции при задании верхней ограничивающей кривой параметрическими уравнениями , , где – непрерывна, а – монотонно возрастает и непрерывно дифференцируема на отрезке и , , достаточно в формуле для вычисления площади в прямоугольных декартовых координатах сделать в интеграле замену переменной :

(7.5)

При монотонном убывании , то есть при , , будем иметь

(7.6)

7.2. Длина дуги кривой

7.2.1. Длина дуги кривой в декартовых координатах

П усть – несамопересекающаяся незамкнутая дуга кривой. Такие дуги называются также простыми дугами. За длину простой дуги принимают предел периметров вписанных ломаных при стремлении наибольшей

из длин звеньев ломаной к нулю, если этот предел существует и конечен. В случае замкнутой кривой, а также самопересекающейся кривой, когда она может быть разбита на конечное число простых дуг, за длину кривой принимают сумму длин простых дуг, ее составляющих (рис. 8).

Пусть дуга задана уравнением , , где функция – имеет непрерывную производную на отрезке . Тогда ее длина вычисляется по формуле:

(7.7.)