5.2. Свойства определённого интеграла

Далее будем рассматривать функцию непрерывную на . По определению полагают, что определённый интеграл от функции с равными верхним и нижним пределами интегрирования равен нулю

. (5.2)

1. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный

. (5.3)

2. Аддитивность по области интегрирования.

Каковы бы ни были числа , если интегрируема на большем из отрезков, концами которых являются эти точки, то интегрируема и на меньших отрезках и имеет место равенство

. (5.4)

Доказательство. Пусть , т.к. предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения , то будем разбивать так, чтобы точка с была точкой разбиения, т.е. , тогда . Переходя к пределу при , получаем равенство (5.4).

Далее пусть , тогда по доказанному .

3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла, т.е.

. (5.5)

4. Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.

. (5.6)

Доказательство. Очевидно, что

, переходя к пределу, получим

Итак, .

Свойство 4 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

Свойства 3,4 называются свойствами линейности.

Далее будем считать, что .

5. Если всюду на верно неравенство , то .

6. Монотонность.

Если всюду на верно неравенство , то

.

7. Оценка модуля интеграла.

Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, то есть

. (5.7)

Следствие. Если всюду на верно неравенство , то .

8. Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на , то

. (5.8)

9. Теорема о среднем.

На отрезке существует точка такая, что

. (5.9)

Доказательство. Пусть , так что для любых . Тогда в силу монотонности и линейности определённого интеграла имеем:

и, разделив на , получаем . Так как непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между наибольшим и наименьшим, то найдётся по крайней мере одна точка на отрезке такая, что . Число называется средним значением функции на отрезке .

9. Обобщенная теорема о среднем для интегралов.

Если функция интегрируема и неотрицательна на отрезке , а функция удовлетворяет на этом отрезке условию , где и , то

.

10. Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция определена и дифференцируема на и имеет место равенство , то – первообразная для функции .

11. Формула Ньютона-Лейбница. Если – первообразная функции на , то

. (5.10)

Доказательство. Наряду с первообразной функции является функция . А т.к. всякие две первообразные одной и той же функции отличаются на константу, то справедливо равенство: . Полагая в этом равенстве сначала , а затем , получим , . Вычитая из первого равенства второе, получим формулу Ньютона-Лейбница. Разность в правой части этой формулы записывают также в виде .

Формула (5.10) даёт простой метод вычисления определённого интеграла: определённый интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой её первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Таким образом, задача вычисления определённого интеграла сводится к нахождению неопределённого интеграла. Здесь используются те же методы интегрирования.