3.2 Решение типовых задач 391-400, 401-410

Сущность операционного метода решения дифференциальных уравнений состоит в следующем. С помощью преобразования Лапласа находим изображения всех компонентов дифференциального уравнения. Получаем так называемое операторное уравнение, из которого легко находят изображение известной функции. Затем по изображению определяем неизвестную функцию. Действия над изображениями значительно проще, чем над самими функциями.

 Задача 391-400. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Перейдем от оригиналов к изображениям (свойство 5 – дифференцирование оригинала):

Запишем исходное уравнение в изображениях и решим его относительно Х:

_{Чтобы найти оригинал полученного изображения, знаменатель дроби разложим на множители и запишем полученную дробь в виде суммы простейших дробей.}

Найдем коэффициенты А, В, и С.

Пользуясь таблицей, запишем оригинал полученного изображения

- частное решение исходного уравнения.

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 

 Задача 401-410. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющие начальным условиям.

- неизвестные функции.

Переходим к изображениям

Получаем систему изображающих уравнений

Решаем систему методом Крамера. Находим определители:

_{Находим решение изображающей системы X(p), Y(p) , Z(p).}

Далее находим оригиналы полученных изображений.

Получили искомое решение системы:



3.3. Основы теории вероятностей

Математическая наука, которая изучает закономерности массовых событий, называется теорией вероятности.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Науку, которая использует теорию вероятностей для обработки численных единиц информации как результатов эксперимента, называют математической статистикой.

Последовательность операций, выполняемых с соблюдением конкретного комплекса условий, называют экспериментом или испытанием.

Результат испытания называют событием.

Пример. Брошена монета – испытание; появление герба – событие. 

Классификация событий

Наблюдаемые нами события можно подразделить на следующие три вида: достоверные; невозможные; случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Достоверное событие обозначается символом Ω («омега»).

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Невозможное событие обозначается символом Ø (пустое множество).

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти в зависимости от действия многочисленных факторов, учесть которые исследователь не в силах. Случайные события обозначают символами А, В, С… или А₁, А₂, А₃, …, А_к; В₁, В₂, В₃, …, В_п.

Пример. В урне находятся 10 одинаковых шаров, пронумерованных от 1 до 10. Наугад берется один шар. Возможны следующие события:

1) появление шара с номером от 1 до 10 – событие достоверное;

2) появление шара с номером 12 – событие невозможное;

3) появление шара с номером 2 – событие случайное. 