Условная вероятность и ее свойства

Если вероятность случайного события А вычисляется по условию, что событие В произошло, то такая вероятность называется условной.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго:

или .

Следствие: Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже появились.

.

где – вероятность события , вычисленная в предположении, что события , , …, наступили.

Пример. В ящике 15 шаров: 7 синих и 8 желтых. Наудачу из ящика вынули один шар, а затем второй (не возвращая их обратно). Найти вероятность того, что первый из взятых шаров синий, а второй желтый.

Решение. Событие – первый взятый шар синий. Вероятность события : .

Событие – второй взятый шар желтый. Вероятность события , вычисленная в предположении, что первый шар синий (т.е. условная вероятность) равна: .

Искомая вероятность по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна:

.

Повторные независимые испытания. Испытания по схеме Бернулли.

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие . При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний.

Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.

Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет раз.

В зависимости от значений и задача предложенного типа решается по различным формулам.

• Если , то используют формулу Бернулли:

,

где – вероятность не наступления события в каждом испытании.

• Если и , то используют локальную теорему Лапласа:

,

где , .

Значения находят по таблице приложения А, Функция четная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; при можно принять .

• Если и (либо ), то используют формулу Пуассона:

,

где .

Функция протабулирована (приложение С)

Пример. Вероятность появления события в каждом из 7 независимых испытаний постоянна и равна . Определить вероятность того, что событие наступит ровно 5 раз.

Решение. По условию ; , , . Т.е. для решения задачи используют формулу Бернулли.

Искомая вероятность:

.

Пример. Процент всхожести семян . Определить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдут 780,

Решение. Т.к. процент всхожести семян , то вероятность взойти для каждого семени постоянна и равна . Количество посеянных семян (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем локальную теорему Лапласа:

, где ;

; .

Откуда .

По таблице значений функции (приложение А), учитывая четность функции, найдем:

.

Искомая вероятность:

.

Пример. Вероятность того, что станок изготовит бракованное изделие постоянна и равна . Найти вероятность того, что из 400 произведенных станком изделий ровно 3 бракованных.

Решение. Вероятность изготовления бракованного изделия постоянна и равна . Общее количество изготовленных изделий (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем формулу Пуассона:

, где .

Среди изготовленных изделий ровно 3 бракованных:

.

Искомая вероятность согласно приложения С равна

.

Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называют такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события .

Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании.

Для определения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство

Следует иметь в виду, что

1. если – целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ;

2. если – дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства;

3. если – целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .

Пример. Определить наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий, если вероятность качественного изделия равна .

Решение. По условию , ; следовательно .

Используя неравенство:

имеем

;

откуда

.

Следовательно, наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий равно 

Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет не менее раз и не более раз. Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа:

,

где , ; , Значения находят по таблице приложения В. Функция нечетная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; для можно принять .

Пример. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов равна . Найти вероятность того, что среди 800 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 140 до 200 деталей.

Решение. По условию , , , , следовательно .

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где , ;

найдем

;

.

По таблице значений функции (приложение В), учитывая нечетность функции, найдем:

;

.

Искомая вероятность:



Случайные величины.

3.5. Задачи типа 421-430.

Под случайной понимается величина, которая в ряде повторных опытов может принимать различные значения и в каждом осуществлении опыта принимает одно и только одно значение, заранее неизвестно какое (зависящее от случайного исхода опыта).

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретные случайные величины и их числовые характеристики.

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения , а вторая - вероятности :

где , так как возможные значения случайной величины образуют полную группу событий.

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего строят прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс откладывают возможные значения , а по оси ординат – соответствующие значения вероятности . Строят точки , , …, и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения:

Вычислять дисперсию удобно по формуле:

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины около математического ожидания.

Пример. Найти математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины , закон распределения которой задан в виде таблицы:

Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Составим закон распределения :

Найдем математическое ожидание :

.

Подставив в формулу для вычисления дисперсии и , найденное ранее, получим:

.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

.